Equations et inéquations

Savoir résoudre une inéquation - Exercice 1

15 min
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Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes et donner l'ensemble des solutions à l'aide d'un intervalle.
Question 1

2x1402x-14\ge0

Correction
2x1402x-14\ge0 équivaut successivement à :
2x142x\ge14
x142x\ge \frac{14}{2}
x7x\ge 7
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=[7;+[S=\left[7;+\infty \right[
Question 2

183x018-3x\ge0

Correction
3x18-3x\ge -18
x183x\le \frac{-18}{-3} . Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par 3-3 qui est un nombre négatif.
x6x\le 6
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=];6]S=\left]-\infty ;6\right]

Question 3

5x1<2x+75x-1<2x+7

Correction
5x1<2x+75x-1<2x+7 équivaut successivement à :
5x<2x+7+15x<2x+7+1
5x<2x+85x<2x+8
5x2x<85x-2x<8
3x<83x<8
x<83x<\frac{8}{3}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=];83[S=\left]-\infty ;\frac{8}{3} \right[

Question 4

2x+2<6x+142x+2<6x+14

Correction
2x+2<6x+142x+2<6x+14 équivaut successivement à :
2x<6x+1422x<6x+14-2
2x<6x+122x<6x+12
2x6x<122x-6x<12
4x<12-4x<12
x>124x>\frac{12}{-4} . Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par 4-4 qui est un nombre négatif.
x>3x>-3
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]3;+[S=\left]-3;+\infty \right[
Question 5

2(x5)3(4x6)2\left(x-5\right)\ge 3\left(4x-6\right)

Correction
Ici, nous allons commencer par développer l'expression.
2(x5)3(4x6)2\left(x-5\right)\ge 3\left(4x-6\right)
2×x+2×(5)3×4x+3×(6)2\times x+2\times \left(-5\right)\ge 3\times 4x+3\times \left(-6\right)
2x1012x182x-10\ge 12x-18
2x12x18+102x\ge 12x-18+10
2x12x82x\ge 12x-8
2x12x82x-12x\ge -8
10x8-10x\ge -8
x810x\le \frac{-8}{-10} . Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par 10-10 qui est un nombre négatif.
x810x\le \frac{8}{10}
x45x\le \frac{4}{5}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=];45]S=\left]-\infty ;\frac{4}{5} \right]
Question 6

x(3+2x)5x+4x-\left(3+2x\right)\le -5x+4

Correction
x(3+2x)5x+4x-\left(3+2x\right)\le -5x+4 équivaut successivement :
x32x5x+4x-3-2x\le -5x+4
3x5x+4-3-x\le -5x+4
x5x+4+3-x\le -5x+4+3
x5x+7-x\le -5x+7
x+5x7-x+5x\le 7
4x74x\le 7
x74x\le \frac{7}{4}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=];74]S=\left]-\infty ;\frac{7}{4} \right]
Question 7

x12+5x37\frac{x-1}{2} +\frac{5x}{3} \le 7

Correction
x12+5x37\frac{x-1}{2} +\frac{5x}{3} \le 7
x12+5x371\frac{x-1}{2} +\frac{5x}{3} \le \frac{7}{1} . Il est impératif ici de mettre tout au même dénominateur. Ici le dénominateur commun sera 66
3×(x1)3×2+5x×23×27×61×6\frac{3\times \left(x-1\right)}{3\times 2} +\frac{5x\times 2}{3\times 2} \le \frac{7\times 6}{1\times 6}
3x36+10x6426\frac{3x-3}{6} +\frac{10x}{6} \le \frac{42}{6}
  • Si cc est un réel positif alors ac+bcdca+bd\frac{a}{c} +\frac{b}{c} \le \frac{d}{c} \Leftrightarrow a+b\le d .
  • Autrement dit, si dans une inéquation, tous les dénominateurs sont identiques et positifs alors on peut les "enlever" .
3x3+10x423x-3+10x\le 42 . Nous avons donc enlever les dénominateurs qui valaient tous 66 car 66 est positif.
13x34213x-3\le 42
13x42+313x\le 42+3
13x4513x\le 45
x4513x\le \frac{45}{13}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=];4513]S=\left]-\infty ;\frac{45}{13} \right]