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Equations et inéquations
Savoir résoudre une équation produit nul - Exercice 1
12 min
25
Résoudre, dans
R
\mathbb{R}
R
, les équations suivantes :
Question 1
(
3
x
+
4
)
(
5
x
−
10
)
=
0
\left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0
(
3
x
+
4
)
(
5
x
−
10
)
=
0
Correction
(
3
x
+
4
)
(
5
x
−
10
)
=
0
\left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0
(
3
x
+
4
)
(
5
x
−
10
)
=
0
.
Il s’agit d’une
e
ˊ
quation produit nul.
\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
Il s’agit d’une
e
ˊ
quation produit nul.
3
x
+
4
=
0
3x+4=0
3
x
+
4
=
0
ou
5
x
−
10
=
0
5x-10=0
5
x
−
10
=
0
D’une part :
\text{\red{D'une part :}}
D’une part :
résolvons
3
x
+
4
=
0
3x+4=0
3
x
+
4
=
0
qui donne
3
x
=
−
4
3x=-4
3
x
=
−
4
. D'où :
x
=
−
4
3
x=-\frac{4}{3}
x
=
−
3
4
D’autre part :
\text{\red{D'autre part :}}
D’autre part :
résolvons
5
x
−
10
=
0
5x-10=0
5
x
−
10
=
0
qui donne
5
x
=
10
5x=10
5
x
=
10
. D'où :
x
=
10
5
=
2
x=\frac{10}{5}=2
x
=
5
10
=
2
Les solutions de l'équation sont alors :
S
=
{
−
4
3
;
2
}
S=\left\{-\frac{4}{3};2\right\}
S
=
{
−
3
4
;
2
}
Question 2
(
x
+
2
)
(
4
x
−
7
)
=
0
\left(x+2\right)\left(4x-7\right)=0
(
x
+
2
)
(
4
x
−
7
)
=
0
Correction
(
x
+
2
)
(
4
x
−
7
)
=
0
\left(x+2\right)\left(4x-7\right)=0
(
x
+
2
)
(
4
x
−
7
)
=
0
.
Il s’agit d’une
e
ˊ
quation produit nul.
\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
Il s’agit d’une
e
ˊ
quation produit nul.
x
+
2
=
0
x+2=0
x
+
2
=
0
ou
4
x
−
7
=
0
4x-7=0
4
x
−
7
=
0
D’une part :
\text{\red{D'une part :}}
D’une part :
résolvons
x
+
2
=
0
x+2=0
x
+
2
=
0
qui donne
x
=
−
2
x=-2
x
=
−
2
.
D’autre part :
\text{\red{D'autre part :}}
D’autre part :
résolvons
4
x
−
7
=
0
4x-7=0
4
x
−
7
=
0
qui donne
4
x
=
7
4x=7
4
x
=
7
. D'où :
x
=
7
4
x=\frac{7}{4}
x
=
4
7
Les solutions de l'équation sont alors :
S
=
{
−
2
;
7
4
}
S=\left\{-2;\frac{7}{4}\right\}
S
=
{
−
2
;
4
7
}
Question 3
(
8
x
−
7
)
(
2
x
−
18
)
=
0
\left(8x-7\right)\left(2x-18\right)=0
(
8
x
−
7
)
(
2
x
−
18
)
=
0
Correction
(
8
x
−
7
)
(
2
x
−
18
)
=
0
\left(8x-7\right)\left(2x-18\right)=0
(
8
x
−
7
)
(
2
x
−
18
)
=
0
.
Il s’agit d’une
e
ˊ
quation produit nul.
\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
Il s’agit d’une
e
ˊ
quation produit nul.
8
x
−
7
=
0
8x-7=0
8
x
−
7
=
0
ou
2
x
−
18
=
0
2x-18=0
2
x
−
18
=
0
D’une part :
\text{\red{D'une part :}}
D’une part :
résolvons
8
x
−
7
=
0
8x-7=0
8
x
−
7
=
0
qui donne
8
x
=
7
8x=7
8
x
=
7
. D'où :
x
=
7
8
x=\frac{7}{8}
x
=
8
7
D’autre part :
\text{\red{D'autre part :}}
D’autre part :
résolvons
2
x
−
18
=
0
2x-18=0
2
x
−
18
=
0
qui donne
2
x
=
18
2x=18
2
x
=
18
. D'où :
x
=
18
2
=
9
x=\frac{18}{2}=9
x
=
2
18
=
9
Les solutions de l'équation sont alors :
S
=
{
7
8
;
9
}
S=\left\{\frac{7}{8};9\right\}
S
=
{
8
7
;
9
}
Question 4
x
(
x
−
3
)
=
0
x\left(x-3\right)=0
x
(
x
−
3
)
=
0
Correction
x
(
x
−
3
)
=
0
x\left(x-3\right)=0
x
(
x
−
3
)
=
0
.
Il s’agit d’une
e
ˊ
quation produit nul.
\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
Il s’agit d’une
e
ˊ
quation produit nul.
x
=
0
x=0
x
=
0
ou
x
−
3
=
0
x-3=0
x
−
3
=
0
D’une part :
\text{\red{D'une part :}}
D’une part :
résolvons
x
=
0
x=0
x
=
0
qui donne
x
=
0
x=0
x
=
0
.
D’autre part :
\text{\red{D'autre part :}}
D’autre part :
résolvons
x
−
3
=
0
x-3=0
x
−
3
=
0
d'où :
x
=
3
x=3
x
=
3
Les solutions de l'équation sont alors :
S
=
{
0
;
3
}
S=\left\{0;3\right\}
S
=
{
0
;
3
}
Question 5
(
7
x
−
1
)
(
2
x
+
11
)
=
0
\left(7x-1\right)\left(2x+11\right)=0
(
7
x
−
1
)
(
2
x
+
11
)
=
0
Correction
(
7
x
−
1
)
(
2
x
+
11
)
=
0
\left(7x-1\right)\left(2x+11\right)=0
(
7
x
−
1
)
(
2
x
+
11
)
=
0
.
Il s’agit d’une
e
ˊ
quation produit nul.
\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
Il s’agit d’une
e
ˊ
quation produit nul.
7
x
−
1
=
0
7x-1=0
7
x
−
1
=
0
ou
2
x
+
11
=
0
2x+11=0
2
x
+
11
=
0
D’une part :
\text{\red{D'une part :}}
D’une part :
résolvons
7
x
−
1
=
0
7x-1=0
7
x
−
1
=
0
qui donne
7
x
=
1
7x=1
7
x
=
1
. D'où :
x
=
1
7
x=\frac{1}{7}
x
=
7
1
D’autre part :
\text{\red{D'autre part :}}
D’autre part :
résolvons
2
x
+
11
=
0
2x+11=0
2
x
+
11
=
0
qui donne
2
x
=
−
11
2x=-11
2
x
=
−
11
. D'où :
x
=
−
11
2
x=-\frac{11}{2}
x
=
−
2
11
Les solutions de l'équation sont alors :
S
=
{
−
11
2
;
1
7
}
S=\left\{-\frac{11}{2};\frac{1}{7}\right\}
S
=
{
−
2
11
;
7
1
}
Question 6
(
2
x
−
3
)
(
x
+
4
)
(
−
3
x
−
7
)
=
0
\left(2x-3\right)\left(x+4\right)\left(-3x-7\right)=0
(
2
x
−
3
)
(
x
+
4
)
(
−
3
x
−
7
)
=
0
Correction
(
2
x
−
3
)
(
x
+
4
)
(
−
3
x
−
7
)
=
0
\left(2x-3\right)\left(x+4\right)\left(-3x-7\right)=0
(
2
x
−
3
)
(
x
+
4
)
(
−
3
x
−
7
)
=
0
.
Il s’agit d’une
e
ˊ
quation produit nul.
\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}
Il s’agit d’une
e
ˊ
quation produit nul.
2
x
−
3
=
0
2x-3=0
2
x
−
3
=
0
ou
x
+
4
=
0
x+4=0
x
+
4
=
0
ou
−
3
x
−
7
=
0
-3x-7=0
−
3
x
−
7
=
0
Premi
e
ˋ
rement :
\text{\red{Premièrement :}}
Premi
e
ˋ
rement :
résolvons
2
x
−
3
=
0
2x-3=0
2
x
−
3
=
0
qui donne
2
x
=
3
2x=3
2
x
=
3
. D'où :
x
=
3
2
x=\frac{3}{2}
x
=
2
3
.
Deuxi
e
ˋ
mement :
\text{\red{Deuxièmement :}}
Deuxi
e
ˋ
mement :
résolvons
x
+
4
=
0
x+4=0
x
+
4
=
0
qui donne
x
=
−
4
x=-4
x
=
−
4
.
Troisi
e
ˋ
mement :
\text{\red{Troisièmement :}}
Troisi
e
ˋ
mement :
résolvons
−
3
x
−
7
=
0
-3x-7=0
−
3
x
−
7
=
0
qui donne
−
3
x
=
7
-3x=7
−
3
x
=
7
. D'où :
x
=
7
−
3
=
−
7
3
x=\frac{7}{-3}=-\frac{7}{3}
x
=
−
3
7
=
−
3
7
Les solutions de l'équation sont alors :
S
=
{
−
4
;
−
7
3
;
3
2
}
S=\left\{-4;-\frac{7}{3};\frac{3}{2}\right\}
S
=
{
−
4
;
−
3
7
;
2
3
}