Equations et inéquations

Savoir manipuler des inégalités - Exercice 1

20 min
35
Question 1
Soit xx un nombre réel tel que 1x2,5-1\le x \le 2,5 . Donner un encadrement des expressions suivantes :

x9x-9

Correction
1x2,5-1\le x \le 2,5 . Nous allons soustraire tous les membres de l'inégalité par 9-9 . Il vient alors que :
19x92,59-1{\color{red}-9}\le x{\color{red}-9} \le 2,5{\color{red}-9}
Ainsi :
10x97,5-10\le x-9 \le -7,5
Question 2

2x2x

Correction
1x2,5-1\le x \le 2,5 . Nous allons multiplier tous les membres de l'inégalité par 22 . Il vient alors que :
1×2x×22,5×2-1{\color{red}\times 2}\le x{\color{red}\times 2} \le 2,5{\color{red}\times 2}
Ainsi :
22x5-2\le 2x \le 5
Question 3

3x+13x+1

Correction
1x2,5-1\le x \le 2,5 . Nous allons multiplier tous les membres de l'inégalité par 33 . Il vient alors que :
1×3x×32,5×3-1{\color{red}\times 3}\le x{\color{red}\times 3} \le 2,5{\color{red}\times 3}
33x7,5-3\le 3x \le 7,5 . Nous allons additionner tous les membres de l'inégalité par 11 .
3+13x+17,5+1-3{\color{blue}+1}\le 3x{\color{blue}+1} \le 7,5{\color{blue}+1}
Ainsi :
23x+18,5-2\le 3x+1 \le 8,5
Question 4

4x-4x

Correction
1x2,5-1\le x \le 2,5 . Nous allons multiplier tous les membres de l'inégalité par 4-4 .
 Quand on multiplie par un nombre neˊgatif il faut changer le sens de l’ineˊgaliteˊ !\red{\text{ Quand on multiplie par un nombre négatif il faut changer le sens de l'inégalité !}}
Il vient alors que :
1×(4)x×(4)2,5×(4)-1{\color{red}\times \left(-4\right)}{\color{blue}\ge} x{\color{red}\times \left(-4\right)} {\color{blue}\ge} 2,5{\color{red}\times \left(-4\right)}
44x104\ge -4x \ge -10 . Nous allons réécrire l'inégalité du plus petit au plus grand .
Ainsi :
104x4-10\le -4x \le 4
Question 5

x2\frac{x}{2}

Correction
1x2,5-1\le x \le 2,5 . Nous allons diviser tous les membres de l'inégalité par 22 . Il vient alors que :
12x22,52\frac{-1}{\color{red} 2} \le \frac{x}{\color{red} 2} \le \frac{2,5}{\color{red} 2}
Ainsi :
0,5x21,25-0,5\le \frac{x}{2} \le 1,25
Question 6

6x+2-6x+2

Correction
1x2,5-1\le x \le 2,5 . Nous allons multiplier tous les membres de l'inégalité par 6-6 .
 Quand on multiplie par un nombre neˊgatif il faut changer le sens de l’ineˊgaliteˊ !\red{\text{ Quand on multiplie par un nombre négatif il faut changer le sens de l'inégalité !}}
Il vient alors que :
1×(6)x×(6)2,5×(6)-1{\color{red}\times \left(-6\right)}{\color{blue}\ge} x{\color{red}\times \left(-6\right)} {\color{blue}\ge} 2,5{\color{red}\times \left(-6\right)}
66x156\ge -6x \ge -15 . Nous allons réécrire l'inégalité du plus petit au plus grand .
156x6-15\le -6x \le 6 . Nous allons additionner tous les membres de l'inégalité par 22 .
15+26x+26+2-15+2\le -6x+2 \le 6+2
Ainsi :
136x+28-13\le -6x+2 \le 8