Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Exercices types : 33ème partie - Exercice 1

10 min
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On se place dans le repère orthonormal (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) .
Soit mm un réel non nul et (d)\left(d\right) la droite d'équation : 2x+3my19=02x+3my-19=0
Dans chaque cas trouver le réel mm tel que :
Question 1

A(2;5)A\left(2;5\right) appartienne à (d)\left(d\right) .

Correction
Le point A(2;5)A\left(2;5\right) appartient à l'équation cartésienne 2x+3my19=02x+3my-19=0 si les coordonnées de AA vérifient l'équation.
Autrement dit, il faut que 2xA+3m×yA19=02x_{A} +3m\times y_{A} -19=0.
Il vient alors que :
2xA+3m×yA19=02x_{A} +3m\times y_{A} -19=0 équivaut successivement à :
2×2+3m×519=02\times2 +3m\times 5 -19=0
4+15m19=04 +15m -19=0
15m15=015m -15=0
15m=1515m =15
m=1515m =\frac{15}{15}
m=1m =1
Question 2

(d)\left(d\right) soit parallèle à l'axe des ordonnées.

Correction
dd est parallèle à l'axe des ordonnées si son équation cartésienne s'écrit :
x=une constantex=\text{une constante}
.
Nous avons 2x+3my19=02x+3my-19=0, il vient alors que :
2x=3my+192x=-3my+19
x=3m2y+192x=\frac{-3m}{2}y+\frac{19}{2}
Il faut donc que m=0m=0. On obtiendra donc :
x=192x=\frac{19}{2}
. Il s'agit bien d'une équation de droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Question 3

22 soit le coefficient directeur de (d)\left(d\right) .

Correction
Nous connaissons l'équation cartésienne de (d)\left(d\right) qui est : 2x+3my19=02x+3my-19=0. Il nous faut donc maintenant donner la forme réduite qui s'écrit y=mx+py=mx+p. Et ensuite, il faut que le coefficient directeur soit égale à 22.
Soit :
2x+3my19=02x+3my-19=0
3my=2x+193my=-2x+19
y=23mx+193my=\frac{-2}{3m} x+\frac{19}{3m} . Le coefficient directeur ici vaut 23m\frac{-2}{3m}.
D'où :
23m=2\frac{-2}{3m} =2
2=2×3m-2=2\times 3m
6m=26m=-2
m=26m=\frac{-2}{6}
m=13m=-\frac{1}{3}
.