Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Exercices types : 22ème partie

Exercice 1

ABCDABCD est un parallélogramme. EE est le point tel que AE=13AC\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}
Les points II et JJ sont les milieux respectifs des côtés [AB]\left[AB\right] et [DC]\left[DC\right].
On considère le repère (A,B,D)\left(A,B,D\right) encore noté (A;AB;AD)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} \right)
1

Faites une figure.

Correction
2

Donner, sans justifier, les coordonnées des points AA, BB, DD et CC dans le repère (A;AB;AD)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} \right) .

Correction
3

Déterminer les coordonnées des points EE , II et JJ. Justifier.

Correction
4

Montrer que les droites (BJ)\left(BJ\right) et (ID)\left(ID\right) sont parallèles.

Correction
5

Déterminer une équation cartésienne de la droite (ID)\left(ID\right) .

Correction
On admet qu'une équation cartésienne de la droite (AC)\left(AC\right) est : xy=0x-y=0 et qu'une équation cartésienne de la droite (BJ)\left(BJ\right) est : 2x+y2=02x+y-2=0 .
6

Montrer que les droites (AC)\left(AC\right) et (BJ)\left(BJ\right) sont sécantes.

Correction
7

Soit FF le point d'intersection des droites (AC)\left(AC\right) et (BJ)\left(BJ\right) . Déterminer les coordonnées de FF.

Correction

Exercice 2

ABCDABCD est un parallélogramme de centre OO.
Les points II , JJ, KK et LL sont les milieux respectifs des côtés [BC]\left[BC\right], [CD]\left[CD\right] , [DA]\left[DA\right] et [AB]\left[AB\right].
MM et NN sont les points définis par : OM=14OI\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OI} et ON=13OJ\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OJ}
1

Faites une figure.

Correction
2

Les droites (NA)\left(NA\right) et (MC)\left(MC\right) sont-elles parallèles? Justifier bien entendu votre réponse.

Correction

Exercice 3

Soit ABCDABCD un parallélogramme. On considère les points GG et HH par : GA=35GB\overrightarrow{GA} =\frac{3}{5}\overrightarrow{GB} et AH=3AC\overrightarrow{AH} =3\overrightarrow{AC}.
1

Exprimer le vecteur GA\overrightarrow{GA} en fonction du vecteur AB\overrightarrow{AB}

Correction
2

Exprimer les vecteur GD\overrightarrow{GD} et GH\overrightarrow{GH} en fonction des vecteur AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC}.

Correction
3

Que peut-on en déduire pour les points GG,DD et HH.

Correction
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