Exercices types : $1$^ère partie

$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {4} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$, on en déduit que : $b=1$ et $a=4$.
Ainsi , on a : $4x+y+c=0$.
Or le point $A\left(-2;3\right)$ appartient à la droite $\left(d\right)$, donc les coordonnées du point $A\left(-2;3\right)$ vérifie $4x+y+c=0$.
Il vient alors que :
$4x_{A} +y_{A} +c=0$
$4\times \left(-2\right)+3+c=0$
$-8+3+c=0$
$-5+c=0$
$c=5$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(d\right)$ admettant $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {4} \end{array}\right)$ comme vecteur directeur et passant par le point $A\left(-2;3\right)$ est : $4x+y+5=0$.

Nous allons calculer le vecteur $\overrightarrow{BC}$ qui sera un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$.
$\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {1-\left(-5\right)} \\ {-4-\left(-3\right)} \end{array}\right)$ d'où $\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-1} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-1} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$, on en déduit que : $b=-6$ et $a=-1$.
Ainsi , on a : $-x-6y+c=0$.
Or le point $B\left(-5;-3\right)$ appartient à la droite $\left(d\right)$, donc les coordonnées du point $B\left(-5;-3\right)$ vérifie $-x-6y+c=0$.
Il vient alors que :
$-x_{B} -6y_{B} +c=0$
$-\left(-5\right)-6\times \left(-3\right)+c=0$
$5+18+c=0$
$23+c=0$
$c=-23$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(BC\right)$ autrement dit la droite $\left(d\right)$ est : $-x-6y-23=0$.

Le vecteur directeur $\overrightarrow{u} =-3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j}$ s'écrit également : $\vec{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$.
$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$, on en déduit que : $b=3$ et $a=2$.
Ainsi, on a : $2x+3y+c=0$.
Or le point $D\left(-2;3\right)$ appartient à la droite $\left(d\right)$, donc les coordonnées du point $D\left(-2;3\right)$ vérifie $2x+3y+c=0$.
Il vient alors que :
$2x_{D} +3y_{D} +c=0$
$2\times \left(-2\right)+3\times 3+c=0$
$-4+9+c=0$
$5+c=0$
$c=-5$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(d\right)$ admettant $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$ comme vecteur directeur et passant par le point $D\left(-2;3\right)$ est : $2x+3y-5=0$.

La forme réduite d'une droite (vue en classe de seconde) est $y=mx+p$ où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.
Ici on sait que $m=\frac{2}{3}$.
Il en résulte que la droite $\left(d\right)$ s'écrit : $y=\frac{2}{3} x+p$
Or le point $E\left(1;-1\right)$ appartient à la droite $\left(d\right)$, donc les coordonnées du point $E\left(1;-1\right)$ vérifie $y=\frac{2}{3} x+p$.
Il vient alors que :
$y_{E} =\frac{2}{3} x_{E} +p$
$-1=\frac{2}{3} \times 1+p$
$-1=\frac{2}{3} +p$
$-1-\frac{2}{3} =p$
$-\frac{5}{3} =p.$
Finalement, la forme réduite de la droite passant par le point $E\left(1;-1\right)$ et de coefficient directeur $\frac{2}{3}$ est : $y=\frac{2}{3} x-\frac{5}{3}$.
A partir de cette forme réduite, on peut déterminer l'équation cartésienne de la droite $\left(d\right)$.
$y=\frac{2}{3} x-\frac{5}{3}$ équivaut successivement à :
$y-\frac{2}{3} x+\frac{5}{3} =0$
On va multiplier les membres par $3$ afin de ne plus avoir de dénominateur.
$3y-2x+5=0.$
L'équation cartésienne de la droite $\left(d\right)$ est alors : $-2x+3y+5=0$.

Les coordonnées du milieu $K$ de $\left[AB\right]$ sont : $x_{K} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2}$ et $y_{K} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}$.
Soit $x_{K} =\frac{7}{2}$ et $y_{K} =2$.
Les coordonnées de $K$ sont alors $K\left(\frac{7}{2} ;2\right)$.

La médiane du triangle $ABC$ passant par $C$ correspond à la droite $\left(KC\right)$.
Ainsi un vecteur directeur de la médiane $\left(d_{1} \right)$ du triangle $ABC$ passant par $C$ est le vecteur $\overrightarrow{KC}$.
Soit $\overrightarrow{KC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{K} } \\ {y_{C} -y_{K} } \end{array}\right)$ c'est-à-dire : $\overrightarrow{KC} \left(\begin{array}{c} {\frac{9}{2} } \\ {-6} \end{array}\right)$

$\overrightarrow{KC} \left(\begin{array}{c} {\frac{9}{2} } \\ {-6} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de la droite $\left(d_{1} \right)$, on en déduit que : $b=-\frac{9}{2}$ et $a=-6$.
Ainsi, on a : $-6x-\frac{9}{2} y+c=0$.
Or le point $C\left(8;-4\right)$ appartient à la droite $\left(d_{1} \right)$, donc les coordonnées du point $C\left(8;-4\right)$ vérifie $-6x-\frac{9}{2} y+c=0$.
Il vient alors que :
$-6x_{C} -\frac{9}{2} y_{C} +c=0$
$-6\times 8-\frac{9}{2} \times \left(-4\right)+c=0$
$-48+18+c=0$
$-30+c=0$
$c=30$
L'équation cartésienne de la médiane $\left(d_{1} \right)$ du triangle $ABC$ passant par $C$ est :
$-6x-\frac{9}{2} y+30=0$

Les coordonnées du milieu $I$ de $\left[BC\right]$ sont : $x_{I} =\frac{x_{B} +x_{C} }{2}$ et $y_{I} =\frac{y_{B} +y_{C} }{2}$.
Soit $x_{I} =7$ et $y_{I} =0$.
Les coordonnées de $I$ sont alors $I\left(7;0\right)$.
La médiane du triangle $ABC$ passant par $A$ correspond à la droite $\left(AI\right)$.
Ainsi un vecteur directeur de la médiane $\left(d_{2} \right)$ du triangle $ABC$ passant par $A$ est le vecteur $\vec{AI}$.
Soit $\overrightarrow{AI} \left(\begin{array}{c} {x_{I} -x_{A} } \\ {y_{I} -y_{A} } \end{array}\right)$ c'est-à-dire : $\overrightarrow{AI} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {0} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AI} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {0} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de la droite $\left(d_{2} \right)$, on en déduit que : $b=-6$ et $a=0$.
Ainsi , on a : $-6y+c=0$.
Or le point $I\left(7;0\right)$ appartient à la droite $\left(d_{2} \right)$, donc les coordonnées du point $I\left(7;0\right)$ vérifie $-6y+c=0$.
Il vient alors que :
$-6y_{I} +c=0$
$-6\times 0+c=0$
$c=0$
L'équation cartésienne de la médiane $\left(d_{2} \right)$ du triangle $ABC$ passant par $A$ est : $-6y=0$ c'est-à-dire $y=0$

On cherche alors les coordonnées du point d'intersection de $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$.
Il faut donc résoudre le système suivant :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-6x} & {-} & {\frac{9}{2} y} & {+} & {30} & {=} & {0} \\ {} & {} & {y} & {} & {} & {=} & {0} \end{array}\right.$
On remplace dans la $1$^ère ligne la valeur de $y=0$.
Il vient alors que :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-6x} & {-} & {\frac{9}{2} \times 0} & {+} & {30} & {=} & {0} \\ {} & {} & {y} & {} & {} & {=} & {0} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {-6x+30} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {0} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {5} \\ {y} & {=} & {0} \end{array}\right.$
Les coordonnées du centre de gravité de ce triangle sont alors : $\left(5;0\right)$

Deux droites parallèles ont leurs vecteurs directeurs colinéaires.
La droite $\left(DE\right)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{DE} \left(\begin{array}{c} {x_{E} -x_{D} } \\ {y_{E} -y_{D} } \end{array}\right)$ soit $\overrightarrow{DE} \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-5} \end{array}\right)$.
La droite $\Delta$ passe par les points $G\left(8;m\right)$ et $F\left(0;2\right)$.
Ainsi la droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{GF} \left(\begin{array}{c} {x_{F} -x_{G} } \\ {y_{F} -y_{G} } \end{array}\right)$ soit $\overrightarrow{GF} \left(\begin{array}{c} {-8} \\ {2-m} \end{array}\right)$.
Les droites $\left(DE\right)$ et $\Delta$ sont parallèles donc leurs vecteurs respectifs $\overrightarrow{DE} \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-5} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{GF} \left(\begin{array}{c} {-8} \\ {2-m} \end{array}\right)$ sont colinéaires.
Il vient alors que :
$-4\times \left(2-m\right)-\left(-5\right)\times \left(-8\right)=0$ équivaut successivement à :
$-8+4m-40=0$
$4m-48=0$
$4m=48$
$m=\frac{48}{4}$
$m=12$
Pour que le point $G\left(8;m\right)$ appartienne à la droite $\Delta$ parallèle à la droite $\left(DE\right)$ passant par $F$, il faut que $m=12$.

$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right)$ soit $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D} -x_{C} } \\ {y_{D} -y_{C} } \end{array}\right)$ soit $\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {8} \\ {-4} \end{array}\right)$
De plus, $4\times \left(-4\right)-\left(-2\right)\times 8=0$
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont donc bien colinéaires.

Le quadrilatère $ABDC$ a donc ses deux cotés $\left[AB\right]$ et $\left[CD\right]$ qui sont parallèles, c'est donc un trapèze.

Nous allons calculer le vecteur $\overrightarrow{BD}$ qui sera un vecteur directeur de la droite $\left(BD\right)$.
$\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {x_{D} -x_{B} } \\ {y_{D} -y_{B} } \end{array}\right)$ soit $\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-6} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-6} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de la droite $\left(BD\right)$, on en déduit que : $b=-1$ et $a=-6$.
Ainsi , on a : $-6x-y+c=0$.
Or le point $B\left(2;2\right)$ appartient à la droite $\left(BD\right)$, donc les coordonnées du point $B\left(2;2\right)$ vérifie $-6x-y+c=0$.
Il vient alors que :
$-6x_{B} -y_{B} +c=0$
$-6\times 2-2+c=0$
$-12-2+c=0$
$-14+c=0$
$c=14$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(BD\right)$ est : $-6x-y+14=0$.

Nous allons calculer le vecteur $\overrightarrow{AC}$ qui sera un vecteur directeur de la droite $\left(AC\right)$.
$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{A} } \\ {y_{C} -y_{A} } \end{array}\right)$ soit $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-4} \end{array}\right)$ étant un vecteur directeur de la droite $\left(AC\right)$, on en déduit que : $b=3$ et $a=-4$.
Ainsi, on a : $-4x+3y+c=0$.
Or le point $A\left(-2;4\right)$ appartient à la droite $\left(AC\right)$, donc les coordonnées du point $A\left(-2;4\right)$ vérifie $-4x+3y+c=0$.
Il vient alors que :
$-4x_{A} +3y_{A} +c=0$
$-4\times \left(-2\right)+3\times 4+c=0$
$8+12+c=0$
$20+c=0$
$c=-20$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $\left(AC\right)$ est : $-4x+3y-20=0$.

$\red{\text{ D'une part :}}$
On regarde si les coordonnées du point $E$ vérifient l'équation de la droite $\left(BD\right)$.
$-6x_{E} -y_{E} +14=-6\times 1-8+14$
$-6x_{E} -y_{E} +14=0$
Donc le point $E$ appartient à la droite $\left(BD\right)$.
$\red{\text{ D'autre part :}}$
On regarde si les coordonnées du point $E$ vérifient l'équation de la droite $\left(AC\right)$.
$-4x_{E} +3y_{E} -20=-4\times 1+3\times 8-20$
$-4x_{E} +3y_{E} -20=0$
Donc le point $E$ appartient à la droite $\left(AC\right)$.

$K$ est le milieu du segment $\left[AB\right]$ d'où :
$x_{K} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2}$ et $y_{K} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}$ .
Ainsi : $x_{K} =0$ et $y_{K} =3$.
Donc $K\left(0;3\right)$

$L$ est le milieu du segment $\left[CD\right]$ d'où :
$x_{L} =\frac{x_{C} +x_{D} }{2}$ et $y_{L} =\frac{y_{C} +y_{D} }{2}$ .
Ainsi : $x_{L} =-1$ et $y_{L} =-2$.
Donc $L\left(-1;-2\right)$

Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EL}$ et $\overrightarrow{EK}$.
On a :
$\overrightarrow{EL} \left(\begin{array}{c} {x_{L} -x_{E} } \\ {y_{L} -y_{E} } \end{array}\right)$ soit $\overrightarrow{EL} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-10} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{EK} \left(\begin{array}{c} {x_{K} -x_{E} } \\ {y_{K} -y_{E} } \end{array}\right)$ soit $\overrightarrow{EK} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-5} \end{array}\right)$
On remarque que : $\overrightarrow{EL} =2\times \overrightarrow{EK}$.
Il vient alors que les vecteurs $\overrightarrow{EL}$ et $\overrightarrow{EK}$ sont colinéaires, donc que les points $E$, $K$ et $L$ sont alignés.