Exercices types : $1$<sup>ère</sup> partie - Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Exercice 1

Dans chaque cas, déterminer une équation de la droite

\left(d\right)

Passant par le point $A\left(-2;3\right)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {4} \end{array}\right)$

Correction

Passant par les points $B\left(-5;-3\right)$ et $C\left(1;-4\right)$

Correction

Passant par le point $D\left(-2;3\right)$ et de vecteur directeur $\vec{u} =-3\vec{i} +2\vec{j}$

Correction

Passant par le point $E\left(1;-1\right)$ et de coefficient directeur $\frac{2}{3}$ .

Correction

Exercice 2

On se place dans le repère orthonormal

\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)

On donne les points

A\left(1;0\right)

B\left(6;4\right)

C\left(8;-4\right)

Déterminer les coordonnées du milieu $K$ de $\left[AB\right]$ .

Correction

Déterminer un vecteur directeur de la médiane $\left(d_{1} \right)$ du triangle $ABC$ passant par $C$ .

Correction

Déterminer une équation de cette médiane.

Correction

Déterminer une équation de la médiane $\left(d_{2} \right)$ du triangle $ABC$ passant par $A$ .

Correction

Déduire des questions précédentes, les coordonnées du centre de gravité de ce triangle.

Correction

Exercice 3

On se place dans le repère orthonormal

\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)

On donne les points

D\left(7;2\right)

E\left(3;-3\right)

F\left(0;2\right)

Déterminer le réel $m$ pour que le point $G\left(8;m\right)$ appartienne à la droite $\Delta$ parallèle à la droite $\left(DE\right)$ passant par $F$ .

Correction

Exercice 4

On se place dans le repère orthonormal

\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)

On donne les points

A\left(-2;4\right)

B\left(2;2\right)

C\left(-5;0\right)

D\left(3;-4\right)

Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Correction

Que peut-on en déduire sur le quadrilatère $ABDC$ ?

Correction

Déterminer une équation cartésienne de la droite $\left(BD\right)$ .

Correction

Trouver une équation cartésienne de la droite $\left(AC\right)$ .

Correction

Soit le point

E\left(1;8\right)

Montrer que le point $E$ appartient à la droite $\left(BD\right)$ et à la droite $\left(AC\right)$ .

Correction

K

est le milieu du segment

\left[AB\right]

L

le milieu du segment

\left[CD\right]

Montrer que les points $E$ , $K$ et $L$ sont alignés.

Correction

Exercices types : 111ère partie

Exercice 1

Passant par le point A(−2;3)A\left(-2;3\right)A(−2;3) et de vecteur directeur u→(−14)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {4} \end{array}\right)u(−14​)

Passant par les points B(−5;−3)B\left(-5;-3\right)B(−5;−3) et C(1;−4)C\left(1;-4\right)C(1;−4)

Passant par le point D(−2;3)D\left(-2;3\right)D(−2;3) et de vecteur directeur u⃗=−3i⃗+2j⃗\vec{u} =-3\vec{i} +2\vec{j} u=−3i+2j​

Passant par le point E(1;−1)E\left(1;-1\right)E(1;−1) et de coefficient directeur 23\frac{2}{3} 32​.

Exercice 2

Déterminer les coordonnées du milieu KKK de [AB]\left[AB\right][AB].

Déterminer un vecteur directeur de la médiane (d1)\left(d_{1} \right)(d1​) du triangle ABCABCABC passant par CCC.

Déterminer une équation de cette médiane.

Déterminer une équation de la médiane (d2)\left(d_{2} \right)(d2​) du triangle ABCABCABC passant par AAA.

Déduire des questions précédentes, les coordonnées du centre de gravité de ce triangle.

Exercice 3

Déterminer le réel mmm pour que le point G(8;m)G\left(8;m\right)G(8;m) appartienne à la droite Δ\Delta Δ parallèle à la droite (DE)\left(DE\right)(DE) passant par FFF.

Exercice 4

Montrer que les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} AB et CD→\overrightarrow{CD} CD sont colinéaires.

Que peut-on en déduire sur le quadrilatère ABDCABDCABDC ?

Déterminer une équation cartésienne de la droite (BD)\left(BD\right)(BD).

Trouver une équation cartésienne de la droite (AC)\left(AC\right)(AC).

Montrer que le point EEE appartient à la droite (BD)\left(BD\right)(BD) et à la droite (AC)\left(AC\right)(AC).

Montrer que les points EEE, KKK et LLL sont alignés.

Exercices types : $1$ ^ère partie

Passant par le point $A\left(-2;3\right)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {4} \end{array}\right)$

Passant par les points $B\left(-5;-3\right)$ et $C\left(1;-4\right)$

Passant par le point $D\left(-2;3\right)$ et de vecteur directeur $\vec{u} =-3\vec{i} +2\vec{j}$

Passant par le point $E\left(1;-1\right)$ et de coefficient directeur $\frac{2}{3}$ .

Déterminer les coordonnées du milieu $K$ de $\left[AB\right]$ .

Déterminer un vecteur directeur de la médiane $\left(d_{1} \right)$ du triangle $ABC$ passant par $C$ .

Déterminer une équation de la médiane $\left(d_{2} \right)$ du triangle $ABC$ passant par $A$ .

Déterminer le réel $m$ pour que le point $G\left(8;m\right)$ appartienne à la droite $\Delta$ parallèle à la droite $\left(DE\right)$ passant par $F$ .

Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Que peut-on en déduire sur le quadrilatère $ABDC$ ?

Déterminer une équation cartésienne de la droite $\left(BD\right)$ .

Trouver une équation cartésienne de la droite $\left(AC\right)$ .

Montrer que le point $E$ appartient à la droite $\left(BD\right)$ et à la droite $\left(AC\right)$ .

Montrer que les points $E$ , $K$ et $L$ sont alignés.