Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

Déterminer la forme réduite d'une droite à l'aide de deux points - Exercice 1

15 min
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Question 1

Déterminer l'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) passant par les points A(2;7)A\left(2;7\right) et B(3;8)B\left(3;8\right).

Correction
Toute droite (d)\left(d\right) non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme y=mx+py={\color{blue}m}x+{\color{red}p} . Cette équation est l'équation réduite de la droite (d)\left(d\right) .
  • Le réel m{\color{blue}m} est appelé pente (ou coefficient directeur de la droite ) .
  • Le réel p{\color{red}p} est appelé ordonnée à l'origine .
    • Soit (d)\left(d\right) une droite passant par les points A(xA;yA)A\left(x_{A};y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B};y_{B}\right) . La pente mm ou coefficient directeur de la droite (d)\left(d\right) vaut m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} .
    L'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) admet comme équation y=mx+py=mx+p .
    1ère étape : Calcul de la pente mm appelée également coefficient directeur mm.
    m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
    m=8−73−2m=\frac{8-7}{3-2 }
    m=11m=\frac{1}{1}
    m=1m=1

    Ainsi : y=x+py=x+p
    2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine pp.
    Nous savons que le point A(2;7)A\left(2;7\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que yA=xA+py_{A}=x_{A}+p.
    Il vient alors que :
    7=2+p7=2+p équivaut successivement à :
    2+p=72+p=7
    p=7−2p=7-2
    p=5p=5

    Finalement, l'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) est :
    y=x+5y=x+5
    Question 2

    Déterminer l'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) passant par les points A(0;−5)A\left(0;-5\right) et B(3;4)B\left(3;4\right).

    Correction
    Toute droite (d)\left(d\right) non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme y=mx+py={\color{blue}m}x+{\color{red}p} . Cette équation est l'équation réduite de la droite (d)\left(d\right) .
  • Le réel m{\color{blue}m} est appelé pente (ou coefficient directeur de la droite ) .
  • Le réel p{\color{red}p} est appelé ordonnée à l'origine .
    • Soit (d)\left(d\right) une droite passant par les points A(xA;yA)A\left(x_{A};y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B};y_{B}\right) . La pente mm ou coefficient directeur de la droite (d)\left(d\right) vaut m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} .
    L'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) admet comme équation y=mx+py=mx+p .
    1ère étape : Calcul de la pente mm appelée également coefficient directeur mm.
    m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
    m=4−(−5)3−0m=\frac{4-\left(-5\right)}{3-0 }
    m=93m=\frac{9}{3}
    m=3m=3

    Ainsi : y=3x+py=3x+p
    2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine pp.
    Nous savons que le point A(0;−5)A\left(0;-5\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que yA=3xA+py_{A}=3x_{A}+p.
    Il vient alors que :
    −5=3×0+p-5=3\times0+p équivaut successivement à :
    3×0+p=−53\times0+p=-5
    p=−5p=-5

    Finalement, l'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) est :
    y=3x−5y=3x-5
    Question 3

    Déterminer l'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) passant par les points A(3;5)A\left(3;5\right) et B(6;11)B\left(6;11\right).

    Correction
    Toute droite (d)\left(d\right) non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme y=mx+py={\color{blue}m}x+{\color{red}p} . Cette équation est l'équation réduite de la droite (d)\left(d\right) .
  • Le réel m{\color{blue}m} est appelé pente (ou coefficient directeur de la droite ) .
  • Le réel p{\color{red}p} est appelé ordonnée à l'origine .
    • Soit (d)\left(d\right) une droite passant par les points A(xA;yA)A\left(x_{A};y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B};y_{B}\right) . La pente mm ou coefficient directeur de la droite (d)\left(d\right) vaut m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} .
    L'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) admet comme équation y=mx+py=mx+p .
    1ère étape : Calcul de la pente mm appelée également coefficient directeur mm.
    m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
    m=11−56−3m=\frac{11-5}{6-3 }
    m=63m=\frac{6}{3}
    m=2m=2

    Ainsi : y=2x+py=2x+p
    2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine pp.
    Nous savons que le point A(3;5)A\left(3;5\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que yA=2xA+py_{A}=2x_{A}+p.
    Il vient alors que :
    5=2×3+p5=2\times3+p équivaut successivement à :
    2×3+p=52\times3+p=5
    6+p=56+p=5
    p=5−6p=5-6
    p=−1p=-1

    Finalement, l'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) est :
    y=2x−1y=2x-1
    Question 4

    Déterminer l'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) passant par les points A(1;−5)A\left(1;-5\right) et B(2;−12)B\left(2;-12\right).

    Correction
    Toute droite (d)\left(d\right) non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme y=mx+py={\color{blue}m}x+{\color{red}p} . Cette équation est l'équation réduite de la droite (d)\left(d\right) .
  • Le réel m{\color{blue}m} est appelé pente (ou coefficient directeur de la droite ) .
  • Le réel p{\color{red}p} est appelé ordonnée à l'origine .
    • Soit (d)\left(d\right) une droite passant par les points A(xA;yA)A\left(x_{A};y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B};y_{B}\right) . La pente mm ou coefficient directeur de la droite (d)\left(d\right) vaut m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} .
    L'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) admet comme équation y=mx+py=mx+p .
    1ère étape : Calcul de la pente mm appelée également coefficient directeur mm.
    m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
    m=−12−(−5)2−1m=\frac{-12-\left(-5\right)}{2-1 }
    m=−71m=\frac{-7}{1}
    m=−7m=-7

    Ainsi : y=−7x+py=-7x+p
    2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
    Nous savons que le point A(1;−5)A\left(1;-5\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que yA=−7xA+py_{A}=-7x_{A}+p.
    Il vient alors que :
    −5=−7×1+p-5=-7\times1+p équivaut successivement à :
    −7×1+p=−5-7\times1+p=-5
    −7+p=−5-7+p=-5
    p=−5+7p=-5+7
    p=2p=2

    Finalement, l'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) est :
    y=−7x+2y=-7x+2
    Question 5

    Déterminer l'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) passant par les points A(2;2)A\left(2;2\right) et B(5;−4)B\left(5;-4\right).

    Correction
    Toute droite (d)\left(d\right) non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme y=mx+py={\color{blue}m}x+{\color{red}p} . Cette équation est l'équation réduite de la droite (d)\left(d\right) .
  • Le réel m{\color{blue}m} est appelé pente (ou coefficient directeur de la droite ) .
  • Le réel p{\color{red}p} est appelé ordonnée à l'origine .
    • Soit (d)\left(d\right) une droite passant par les points A(xA;yA)A\left(x_{A};y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B};y_{B}\right) . La pente mm ou coefficient directeur de la droite (d)\left(d\right) vaut m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} .
    L'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) admet comme équation y=mx+py=mx+p .
    1ère étape : Calcul de la pente mm appelée également coefficient directeur mm.
    m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
    m=−4−25−2m=\frac{-4-2}{5-2 }
    m=−63m=\frac{-6}{3}
    m=−2m=-2

    Ainsi : y=−2x+py=-2x+p
    2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
    Nous savons que le point B(5;−4)B\left(5;-4\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que yB=−2xB+py_{B}=-2x_{B}+p.
    Il vient alors que :
    −4=−2×5+p-4=-2\times5+p équivaut successivement à :
    −2×5+p=−4-2\times5+p=-4
    −10+p=−4-10+p=-4
    p=−4+10p=-4+10
    p=6p=6

    Finalement, l'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) est :
    y=−2x+6y=-2x+6
    Question 6

    Déterminer l'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) passant par les points A(1;−1)A\left(1;-1\right) et B(2;−6)B\left(2;-6\right).

    Correction
    Toute droite (d)\left(d\right) non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme y=mx+py={\color{blue}m}x+{\color{red}p} . Cette équation est l'équation réduite de la droite (d)\left(d\right) .
  • Le réel m{\color{blue}m} est appelé pente (ou coefficient directeur de la droite ) .
  • Le réel p{\color{red}p} est appelé ordonnée à l'origine .
    • Soit (d)\left(d\right) une droite passant par les points A(xA;yA)A\left(x_{A};y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B};y_{B}\right) . La pente mm ou coefficient directeur de la droite (d)\left(d\right) vaut m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} .
    L'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) admet comme équation y=mx+py=mx+p .
    1ère étape : Calcul de la pente mm appelée également coefficient directeur mm.
    m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
    m=−6−(−1)2−1m=\frac{-6-\left(-1\right)}{2-1 }
    m=−6+11m=\frac{-6+1}{1}
    m=−5m=-5

    Ainsi : y=−5x+py=-5x+p
    2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
    Nous savons que le point B(2;−6)B\left(2;-6\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que yB=−5xB+py_{B}=-5x_{B}+p.
    Il vient alors que :
    −6=−5×2+p-6=-5\times2+p équivaut successivement à :
    −5×2+p=−6-5\times2+p=-6
    −10+p=−6-10+p=-6
    p=−6+10p=-6+10
    p=4p=4

    Finalement, l'équation réduite de la droite (AB)\left(AB\right) est :
    y=−5x+4y=-5x+4