Probabilités conditionnelles

Calculer des probabilités conditionnelles avec un tableau croisé d'effectifs - Exercice 1

15 min
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Question 1
On considère les événements suivants :
  • AA : " l'élève est un Homme ".
  • BB : " l'élève est une Femme ".
  • CC : " La personne achète en magasin ".
  • DD : " La personne achète sur internet ".
On tire au hasard une personne.

Traduire par une phrase l'évènement BDB\cap D et calculer sa probabilité.

Correction
L'évènement BDB\cap D correspond à l'évènement : l’élève est une femme et{\color{blue}{\text{et}}} elle a acheté sur internet.
P(BD)=60165P\left(B\cap D\right)=\frac{60}{165}
P(BD)=411P\left(B\cap D\right)=\frac{4}{11}
Question 2

Sachant que la personne est une femme, quelle est la probabilité que la personne achète en magasin.

Correction
Sachant que la personne est une femme, quelle est la probabilité que la personne achète en magasin correspond à une probabilité conditionnelle que l'on va écrire : PB(C)P_{B} \left(C\right)
  • PB(A)=P(AB)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
Il vient alors que :
PB(C)=P(CB)P(B)P_{B} \left(C\right)=\frac{P\left(C\cap B\right)}{P\left(B\right)}
PB(C)=55115P_{B} \left(C\right)=\frac{55}{115}
d'où :
PB(C)=1123P_{B} \left(C\right)=\frac{11}{23}
Question 3

La personne achète sur internet. Quelle est la probabilité que la personne soit un homme ?

Correction
Cette question est une probabilité conditionnelle. En effet, nous pouvons traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que la personne a acheté sur internet, quelle est la probabilité que ce soit un homme?
Cela s'écrit donc : PD(A)P_{D} \left(A\right)
  • PB(A)=P(AB)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
Il vient alors que :
PD(A)=P(AD)P(D)P_{D} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap D\right)}{P\left(D\right)}
PD(A)=3595P_{D} \left(A\right)=\frac{35}{95}
d'où :
PD(A)=719P_{D} \left(A\right)=\frac{7}{19}
Question 4

Traduire par une phrase pD(B)p_{D} \left(B\right) puis calculer sa probabilité.

Correction
pD(B)p_{D} \left(B\right) se traduit par : Sachant{\color{blue}{\text{Sachant}}} que la personne a acheté sur Internet, quelle est la probabilité que ce soit une femme.
  • PB(A)=P(AB)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
Il vient alors que :
PD(B)=P(BD)P(D)P_{D} \left(B\right)=\frac{P\left(B\cap D\right)}{P\left(D\right)}
PD(A)=6095P_{D} \left(A\right)=\frac{60}{95}
d'où :
PD(A)=1219P_{D} \left(A\right)=\frac{12}{19}