Probabilités conditionnelles

Sujet 2 - Exercice 1

25 min
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Question 1
Partie  A  :\underline{\bf{Partie\;A\;:}}
Un sondage est mené auprès de clients d’un magasin de téléphonie mobile ayant acheté un téléphone (et un seul) de modèle AA ou de modèle B,B, avec deux choix de forfaits possibles :
forfait MM : « Internet mobile 10  Go10\;Go » ou forfait SS :« Internet mobile 50  Go50\;Go ».
Le téléphone de modèle AA coûte moins cher que le téléphone de modèle BB et le coût du forfait MM est moins élevé que celui du forfait SS.
Sur les 2  0002\;000 clients sondés, 1  0401\;040 ont souscrit un forfait MM et 1  3501\;350 ont acheté un téléphone de modèle B.B.
On relève également que 30%30\% des sondés ayant acheté un téléphone de modèle BB ont souscrit un forfait M.M.

A l’aide des données précédentes, compléter le tableau croisé d’effectifs ci-dessous.

Correction
Question 2

Quelle est la fréquence des sondés ayant souscrit un forfait SS ?

Correction
Nous allons commencer par calculer la probabilité des sondés ayant souscrit un forfait SS . Nous traduirons ensuite le résultat en fréquence.
p(S)=nombre des issues favorables pour Snombre des issues possiblesp\left(S\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables pour S}}{\text{nombre des issues possibles}}
p(S)=9602000p\left(S\right)=\frac{960}{2000} . Nous allons simplifier l'écriture de la fraction rationnelle . Il vient alors que :
p(S)=0,48p\left(S\right)=0,48

Il en résulte donc que la fréquence des sondés ayant souscrit un forfait SS est de 48%48\% .
Question 3

Quelle est la fréquence des sondés qui ont acheté un téléphone de modèle AA et ont souscrit un forfait MM ?

Correction
Nous allons commencer par calculer la probabilité des sondés qui ont acheté un téléphone de modèle AA et ont souscrit un forfait MM . Nous traduirons ensuite le résultat en fréquence.
La probabilité des sondés qui ont acheté un téléphone de modèle AA et ont souscrit un forfait MM
L'évènement AMA\cap M correspond à l'évènement : le sondé a acheté un téléphone de modèle AA et{\color{blue}{\text{et}}} ont souscrit un forfait MM
Dans le tableau, nous lisons qu'il y a 635635 personnes sur les 20002000 qui ont acheté un téléphone de modèle AA et ont souscrit un forfait MM . On peut alors écrire que :
p(AM)=6352000p\left(A\cap M\right)=\frac{635}{2000} . Nous allons simplifier l'écriture de la fraction rationnelle . Il vient alors que :
p(AM)=0,3175p\left(A\cap M\right)=0,3175

La fréquence des sondés qui ont acheté un téléphone de modèle AA et ont souscrit un forfait MM est de 31,75%31,75\% .
Question 4

L’affirmation suivante du directeur de cette agence est-elle vraie ?
« Moins d’un tiers des sondés choisit la formule la plus économique »

Correction
Nous souhaitons ici déterminer la probabilité de l'évènement MM.
p(M)=nombre des issues favorables pour Mnombre des issues possiblesp\left(M\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables pour M}}{\text{nombre des issues possibles}}
p(M)=10402000p\left(M\right)=\frac{1040}{2000} . Nous allons simplifier l'écriture de la fraction rationnelle . Il vient alors que :
p(M)=0,52p\left(M\right)=0,52

Or 130,33\frac{1}{3}\approx 0,33 à 10210^{-2} près.
Ainsi : p(M)>13p\left(M\right)>\frac{1}{3}
L’affirmation du directeur de cette agence n'est pas vraie.
Question 5

Si on choisit au hasard un client parmi les sondés qui ont répondu avoir souscrit un forfait S,S,
est-il vrai qu’il y a une très forte probabilité qu’il ait acheté un téléphone de modèle BB ?

Correction
Cette affirmation est une probabilité conditionnelle.
On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que le sondé a souscrit un forfait SS quelle est la probabilité qu'il ait acheté un téléphone de modèle BB
  • PB(A)=P(AB)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
PS(B)=P(SB)P(S)P_{S} \left(B\right)=\frac{P\left(S\cap B\right)}{P\left(S\right)}
PS(B)=945960P_{S} \left(B\right)=\frac{945}{960}
PS(B)=0,984375P_{S} \left(B\right)=0,984375

Le résultat est une probabilité qui est très proche de 11.
Il est alors vrai que si un client parmi les sondés a répondu avoir souscrit un forfait S,S, alors il est vrai qu’il y a une très forte probabilité qu’il ait acheté un téléphone de modèle BB.
Question 6
Partie  B  :\underline{\bf{Partie\;B\;:}}
Dans un autre magasin de téléphonie mobile, une enquête de satisfaction proposée à chaque client a donné les résultats suivants :

Quelle est la proportion, exprimée en pourcentage, de clients interrogés qui n’ont pas répondu à la première question ?

Correction
Le diagramme circulaire entièrement rempli correspond à 100%100\%.
Il en résulte donc que :
pas de reˊponse=100%NONOUI\text{pas de réponse}=100\%-\text{NON}-\text{OUI}
pas de reˊponse=100%15%67%\text{pas de réponse}=100\%-15\%-67\%
pas de reˊponse=18%\text{pas de réponse}=18\%

18%18\% des clients interrogés n’ont pas répondu à la première question.
Question 7

Parmi l’ensemble des clients interrogés, quelle est la proportion, exprimée en pourcentage, de ceux qui ne sont pas satisfaits des conditions d’achat en raison d’un mauvais accueil ?

Correction
    On considère une population EE, une sous-population AA de EE et une sous-population BB de AA .
    On note pAp_{A} la proportion d'individus de la population AA dans EE et pBp_{B} la proportion d'individus de la population BB dans AA.
  • La proportion pp d'individus de BB dans EE, est égale à : p=pA×pBp=p_{A}\times p_{B}
  • Dans notre exemple, la population EE correspond à l'ensemble des clients interrogés.
    La sous-population AA ici correspond à ceux qui ont dit NON et ainsi pA=15%=0,15p_{A}=15\%=0,15
    La sous-population BB ici correspond à la proportion de ceux qui ont eu un mauvais accueil parmi ceux qui ont dit NON, il vient alors que pB=24%=0,24p_{B}=24\%=0,24
    La proportion pp d'individus de BB dans EE c'est à dire parmi l’ensemble des clients interrogés, exprimée en pourcentage, de ceux qui ne sont pas satisfaits des conditions d’achat en raison d’un mauvais accueil vaut :
    p=pA×pBp=p_{A}\times p_{B}
    Ainsi :
    p=0,15×0,24=0,036p=0,15\times 0,24=0,036

    Parmi l’ensemble des clients interrogés, 3,6%3,6\% ne sont pas satisfaits des conditions d’achat en raison d’un mauvais accueil.