Somme et produit des racines

Il nous faut remplacer tous les $x$ par $7$ et nous devons obtenir $0$ . Il vient que :
$7^{2}-8\times 7+7=49-56+7=0$
Donc $7$ est bien une racine de l'équation : $x^{2}-8x+7=0$

Nous avons : $x^{2}-8x+7=0$ ainsi $a=1$ ; $b=-8$ et $c=7$ .
Il vient alors que :
$\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {-\left(\frac{-8}{1} \right)} \\ {P} & {=} & {\frac{7}{1} } \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {8 } \\ {P} & {=} & {7} \end{array}\right.$

D'après la question $1$, nous avons montré que $7$ est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple $x_{1}=7$ .
D'après la question $2$, nous savons que :
$\left\{\begin{array}{ccc} {S=x_{1}+x_{2}} & {=} & {8 } \\ {P=x_{1}\times x_{2}} & {=} & {7} \end{array}\right.$
$\red{\text{Nous choisissons ici de déterminer l'autre racine avec la première ligne de notre système.}}$
$\red{\text{Nous aurions pu également utiliser la deuxième ligne également .}}$
Il en résulte donc que :
$x_{1}+x_{2}=8$
$7+x_{2}=8$
$x_{2}=8-7$
$x_{2}=1$
La deuxième racine de l'équation $x^{2}-8x+7=0$ est alors $x_{2}=1$ .

Il nous faut remplacer tous les $x$ par $3$ et nous devons obtenir $0$ . Il vient que :
$2\times3^{2}+2\times 3-24=18+6-24=0$
Donc $3$ est bien une racine de l'équation : $2x^{2}+2x-24=0$

Nous avons : $2x^{2}+2x-24=0$ ainsi $a=2$ ; $b=2$ et $c=-24$ .
Il vient alors que :
$\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {-\frac{2}{2}} \\ {P} & {=} & {\frac{-24}{2}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {-1} \\ {P} & {=} & {-12} \end{array}\right.$

D'après la question $1$, nous avons montré que $3$ est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple $x_{1}=3$ .
D'après la question $2$, nous savons que :
$\left\{\begin{array}{ccc} {S=x_{1}+x_{2}} & {=} & {-1 } \\ {P=x_{1}\times x_{2}} & {=} & {-12} \end{array}\right.$
$\red{\text{Nous choisissons ici de déterminer l'autre racine avec la deuxième ligne de notre système.}}$
$\red{\text{Nous aurions pu également utiliser la première ligne également .}}$
Il en résulte donc que :
$x_{1}\times x_{2}=-12$
$3\times x_{2}=-12$
$x_{2}=\frac{-12}{3}$
$x_{2}=-4$
La deuxième racine de l'équation $2x^{2}+2x-24=0$ est alors $x_{2}=-4$ .

On vérifie facilement que $1$ est une racine évidente de $x^{2}+x-2=0$. En effet, $1^{2}+1-2=0$ .
Nous avons : $x^{2}+x-2=0$ ainsi $a=1$ ; $b=1$ et $c=-2$ . Nous allons déterminer la somme et le produit des racines.
Il vient alors que :
$\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {\frac{-1}{1}} \\ {P} & {=} & {\frac{-2}{1}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {-1} \\ {P} & {=} & {-2} \end{array}\right.$
Nous avons montré que $1$ est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple $x_{1}=1$ .
Nous savons que :
$\left\{\begin{array}{ccc} {S=x_{1}+x_{2}} & {=} & {-1 } \\ {P=x_{1}\times x_{2}} & {=} & {-2} \end{array}\right.$
$\red{\text{Nous choisissons ici de déterminer l'autre racine avec la première ligne de notre système.}}$
$\red{\text{Nous aurions pu également utiliser la deuxième ligne également .}}$
Il en résulte donc que :
$x_{1}+x_{2}=-1$
$1+x_{2}=-1$
$x_{2}=-1-1$
$x_{2}=-2$
La deuxième racine de l'équation $x^{2}+x-2=0$ est alors $x_{2}=-2$ .

On vérifie facilement que $-1$ est une racine évidente de $6x^{2}-4x-10=0$.
En effet, $6\times\left(-1\right)^{2}-4\times\left(-1\right)-10=6+4-10=0$ .
Nous avons : $6x^{2}-4x-10=0$ ainsi $a=6$ ; $b=-4$ et $c=-10$ . Nous allons déterminer la somme et le produit des racines.
Il vient alors que :
$\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {-\frac{\left(-4\right)}{6}} \\ {P} & {=} & {\frac{-10}{6}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {\frac{4}{6}} \\ {P} & {=} & {\frac{-10}{6}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {\frac{2}{3}} \\ {P} & {=} & {\frac{-5}{6}} \end{array}\right.$
Nous avons montré que $-1$ est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple $x_{1}=-1$ .
Nous savons que :
$\left\{\begin{array}{ccc} {S=x_{1}+x_{2}} & {=} & {\frac{2}{3} } \\ {P=x_{1}\times x_{2}} & {=} & {\frac{-5}{6}} \end{array}\right.$
$\red{\text{Nous choisissons ici de déterminer l'autre racine avec la deuxième ligne de notre système.}}$
$\red{\text{Nous aurions pu également utiliser la première ligne également .}}$
Il en résulte donc que :
$x_{1}\times x_{2}=\frac{-5}{6}$
$-1\times x_{2}=\frac{-5}{6}$
$x_{2}=\frac{5}{6}$
La deuxième racine de l'équation $6x^{2}-4x-10=0$ est alors $x_{2}=\frac{5}{6}$ .

On vérifie facilement que $1$ est une racine évidente de $5x^{2}-2x-3=0$. En effet, $5\times1^{2}-2\times1-3=0$ .

Nous avons : $5x^{2}-2x-3=0$ ainsi $a=5$ ; $b=-2$ et $c=-3$ . Nous allons déterminer le produit des racines.
Il vient alors que :
$P=\frac{c}{a}=\frac{-3}{5}$

Nous avons montré que $1$ est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple $x_{1}=1$ .
D'après la question précédente : $P=\frac{-3}{5}$ et comme $P$ est également égale à $P=x_{1}\times x_{2}$. Il en résulte donc que :
$x_{1}\times x_{2}=\frac{-3}{5}$
$1\times x_{2}=\frac{-3}{5}$
D'où : $x_{2}=\frac{-3}{5}$

Nous savons maintenant que $g\left(x\right)=5x^{2}-2x-3$ admet deux racines $x_{1}=1$ et $x_{2}=\frac{-3}{5}$ .
Il en résulte donc que :
$g\left(x\right)=3\left(x-1\right)\left(x-\left(-\frac{3}{5} \right)\right)$
$g\left(x\right)=3\left(x-1\right)\left(x+\frac{3}{5} \right)$