72−8×7+7=49−56+7=0 Donc 7 est bien une racine de l'équation : x2−8x+7=0
2
Quelle est la somme et le produit des racines?
Correction
Si un trinôme ax2+bx+c admet deux racines x1 et x2, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=x1+x2=−ab et P=x1×x2=ac .
Nous avons : x2−8x+7=0 ainsi a=1 ; b=−8 et c=7 . Il vient alors que : {SP==−(1−8)17 {SP==87
3
En déduire l’autre solution.
Correction
Si un trinôme ax2+bx+c admet deux racines x1 et x2, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=x1+x2=−ab et P=x1×x2=ac .
D'après la question 1, nous avons montré que 7 est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple x1=7 . D'après la question 2, nous savons que : {S=x1+x2P=x1×x2==87 Nous choisissons ici de deˊterminer l’autre racine avec la premieˋre ligne de notre systeˋme. Nous aurions pu eˊgalement utiliser la deuxieˋme ligne eˊgalement . Il en résulte donc que : x1+x2=8 7+x2=8 x2=8−7 x2=1 La deuxième racine de l'équation x2−8x+7=0 est alors x2=1 .
Exercice 2
1
Vérifier que 3 est racine de l'équation : 2x2+2x−24=0
Correction
Il nous faut remplacer tous les x par 3 et nous devons obtenir 0 . Il vient que : 2×32+2×3−24=18+6−24=0 Donc 3 est bien une racine de l'équation : 2x2+2x−24=0
2
Quelle est la somme et le produit des racines?
Correction
Si un trinôme ax2+bx+c admet deux racines x1 et x2, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=x1+x2=−ab et P=x1×x2=ac .
Nous avons : 2x2+2x−24=0 ainsi a=2 ; b=2 et c=−24 . Il vient alors que : {SP==−222−24 {SP==−1−12
3
En déduire l’autre solution.
Correction
Si un trinôme ax2+bx+c admet deux racines x1 et x2, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=x1+x2=−ab et P=x1×x2=ac .
D'après la question 1, nous avons montré que 3 est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple x1=3 . D'après la question 2, nous savons que : {S=x1+x2P=x1×x2==−1−12 Nous choisissons ici de deˊterminer l’autre racine avec la deuxieˋme ligne de notre systeˋme. Nous aurions pu eˊgalement utiliser la premieˋre ligne eˊgalement . Il en résulte donc que : x1×x2=−12 3×x2=−12 x2=3−12 x2=−4 La deuxième racine de l'équation 2x2+2x−24=0 est alors x2=−4 .
Exercice 3
Trouver une racine évidente dans les équations suivantes et en déduire l’autre solution sans calculer le discriminant.
1
x2+x−2=0
Correction
On vérifie facilement que 1 est une racine évidente de x2+x−2=0. En effet, 12+1−2=0 .
Si un trinôme ax2+bx+c admet deux racines x1 et x2, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=x1+x2=−ab et P=x1×x2=ac .
Nous avons : x2+x−2=0 ainsi a=1 ; b=1 et c=−2 . Nous allons déterminer la somme et le produit des racines. Il vient alors que : {SP==1−11−2 {SP==−1−2 Nous avons montré que 1 est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple x1=1 . Nous savons que : {S=x1+x2P=x1×x2==−1−2 Nous choisissons ici de deˊterminer l’autre racine avec la premieˋre ligne de notre systeˋme. Nous aurions pu eˊgalement utiliser la deuxieˋme ligne eˊgalement . Il en résulte donc que : x1+x2=−1 1+x2=−1 x2=−1−1 x2=−2 La deuxième racine de l'équation x2+x−2=0 est alors x2=−2 .
2
6x2−4x−10=0
Correction
On vérifie facilement que −1 est une racine évidente de 6x2−4x−10=0. En effet, 6×(−1)2−4×(−1)−10=6+4−10=0 .
Si un trinôme ax2+bx+c admet deux racines x1 et x2, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=x1+x2=−ab et P=x1×x2=ac .
Nous avons : 6x2−4x−10=0 ainsi a=6 ; b=−4 et c=−10 . Nous allons déterminer la somme et le produit des racines. Il vient alors que : {SP==−6(−4)6−10 {SP==646−10 {SP==326−5 Nous avons montré que −1 est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple x1=−1 . Nous savons que : {S=x1+x2P=x1×x2==326−5 Nous choisissons ici de deˊterminer l’autre racine avec la deuxieˋme ligne de notre systeˋme. Nous aurions pu eˊgalement utiliser la premieˋre ligne eˊgalement . Il en résulte donc que : x1×x2=6−5 −1×x2=6−5 x2=65 La deuxième racine de l'équation 6x2−4x−10=0 est alors x2=65 .
Exercice 4
Soit g la fonction définie pour tout réel x par g(x)=5x2−2x−3 .
1
Vérifier que 1 est une racine de g .
Correction
On vérifie facilement que 1 est une racine évidente de 5x2−2x−3=0. En effet, 5×12−2×1−3=0 .
2
Sans calcul supplémentaire, déterminer le produit des racines de g .
Correction
Si un trinôme ax2+bx+c admet deux racines x1 et x2, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=x1+x2=−ab et P=x1×x2=ac .
Nous avons : 5x2−2x−3=0 ainsi a=5 ; b=−2 et c=−3 . Nous allons déterminer le produit des racines. Il vient alors que : P=ac=5−3
3
En déduire la seconde racine de g .
Correction
Si un trinôme ax2+bx+c admet deux racines x1 et x2, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=x1+x2=−ab et P=x1×x2=ac .
Nous avons montré que 1 est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple x1=1 . D'après la question précédente : P=5−3 et comme P est également égale à P=x1×x2. Il en résulte donc que : x1×x2=5−3 1×x2=5−3 D'où : x2=5−3
4
Donner la forme factorisée de g .
Correction
Nous savons maintenant que g(x)=5x2−2x−3 admet deux racines x1=1 et x2=5−3 .
Soit un polynome ax2+bx+c qui admet deux racines x1 et x2 alors sa forme factorisée est de la forme a(x−x1)(x−x2).
Il en résulte donc que : g(x)=3(x−1)(x−(−53)) g(x)=3(x−1)(x+53)
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