Produit scalaire

Produit Scalaire : définition par le projeté orthogonal - Exercice 1

10 min
20
Question 1
Le quadrillage des petits carreaux sont de mesure 11 .

Calculer ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Si AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
  • Si AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires mais ont des sens opposés.
Il vient alors que :
ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
ABAC=5×2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-5\times 2
ABAC=10\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-10
Question 2

Calculer ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Si AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
  • Si AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires mais ont des sens opposés.
Il vient alors que :
ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
ABAC=4×4\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-4\times 4
ABAC=16\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-16
Question 3

Calculer ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Si AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
  • Si AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens.
Il vient alors que :
ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
ABAC=2×8\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =2\times 8
ABAC=16\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =16
Question 4

Calculer ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Si AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
  • Si AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
Soit HH le projeté orthogonal de CC sur le segment [AB]\left[AB\right] . Il en résulte donc que :
ABAC=ABAH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}
Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AH\overrightarrow{AH} sont colinéaires et de même sens.
Il vient alors que :
ABAC=ABAH=AB×AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}=AB\times AH
ABAC=5×2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =5\times 2
ABAC=10\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =10
Question 5

Calculer ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Si AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
  • Si AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
Soit HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)\left(AB\right) . Il en résulte donc que :
ABAC=ABAH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}
Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AH\overrightarrow{AH} sont colinéaires mais de sens opposés.
Il vient alors que :
ABAC=ABAH=AB×AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}=-AB\times AH
ABAC=4×5\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-4\times 5
ABAC=20\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-20