Les probabilités conditionnelles et Indépendance

Exercices types : 11ère partie

Exercice 1

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 3535% des plants proviennent de l’horticulteur H1H_{1}, 2525% de l’horticulteur H2H_{2} et le reste de l’horticulteur H3H_{3}. Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l’horticulteur H1H_{1} comporte 8080% de conifères alors que celle de l’horticulteur H2H_{2} n’en comporte que 5050% et celle de l’horticulteur H3H_{3} seulement 3030%.
Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les événements suivants :
  • H1H_{1} : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H1H_{1}".
  • H2H_{2} : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H2H_{2}".
  • H3H_{3} : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H3H_{3}".
  • CC : " l'arbre choisi est un conifère".
  • FF : " l'arbre choisi est un feuillu".

1

Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

Correction
2

Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3H_{3}.

Correction
3

Justifier que la probabilité de l’évènement CC est égale à 0,5250,525.

Correction
4

L’arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1H_{1} ? On arrondira à 10310^{-3}.

Correction

Exercice 2

Dans une classe de terminale S section Européenne les étudiants doivent passer le TOEIC.
  • 75%75\% ont réussi le test.
  • Parmi ceux qui ont réussi, 80%80\% le passaient pour la première fois.
  • Parmi ceux qui ont échoué au test, 5%5\% le passaient pour la première fois.
On considère les évènements TT : « l'élève a réussi le TOEIC », et AA : « l'élève a passé le test plusieurs fois ».
1

Dresser un arbre pondéré décrivant la situation.

Correction
2

Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé le test pour la première fois et l'ait réussi.

Correction
3

Déterminer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé plusieurs fois le test.

Correction
4

On choisit au hasard un élève ayant passé plusieurs fois le test.
Quelle est la probabilité qu'il ait réussie ?

Correction

Exercice 3

Un entraineur d'une équipe de basket a étudié les statistiques aux lancers francs de ces joueurs à l'entrainement. Il a remarqué que sur une série de quatre lancers francs, un joueur pris au hasard dans son équipe marque :
  • 44 lancers francs avec une probabilité de 0,20,2
  • 33 lancers francs avec une probabilité de 0,30,3
  • 22 lancers francs avec une probabilité de 0,50,5

Chaque joueur, à l'entrainement, tire 22 séries de 44 lancers francs. On admet que les résultats d'un joueur à chacune des 22 séries sont indépendants.
Soit XX la variable aléatoire égale au nombre de lancers francs réussis par un joueur au cours d'un entrainement.
1

Calculer la probabilité, pour un joueur pris au hasard, de réussir tous ses lancers francs lors d'un entrainement (on pourra s'aider d'un arbre).

Correction
2

Préciser les valeurs possibles pour XX et établir sa loi de probabilité.

Correction
3

Calculer l'espérance de XX

Correction
L'entraineur considère que le joueur a réussi son entrainement lorsque lors de la série de lancers francs, il en marque plus que 66, autrement dit lorsque X6X\ge 6
4

Montrer que la probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d'un entrainement est égale à 920\frac{9}{20}

Correction

Exercice 4

Partie A
On choisit un client au hasard et on définit les évènements :
  • AA : « le client consomme des produits BIO »
  • BB : « le client consomme des produits français »

3030% des clients affirment consommer BIO. Parmi ces clients, 4040% consomment des produits Français.
De plus, 3232% des clients affirment consommer des produits non Français.
1

Déterminer la probabilité qu'un client consomme des produits BIO étrangers.

Correction
2

Déterminer la probabilité qu'un client ne consomme pas de produits BIO mais consomme des produits étrangers.

Correction
3

Le client consomme des produits étrangers.
Quelle est la probabilité qu'il ne consomme pas de produits BIO ?

Correction
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