Les probabilités conditionnelles et Indépendance

Arbres pondérés et formule des probabilités totales : pour se perfectionner

Exercice 1

Soit l'arbre de probabilité ci-dessous :
On considère deux évènements AA et BB d'un même univers tels que :
P(A)=0,9P \left(A\right)=0,9 et P(A)=0,1P \left(\overline{A}\right)=0,1 ;
PA(B)=0,4P_{A} \left(B\right)=0,4 et PA(B)=0,6P_{A} \left(\overline{B}\right)=0,6
PA(B)=0,25P_{\overline{A}} \left(B\right)=0,25 et PA(B)=0,75P_{\overline{A}} \left(\overline{B}\right)=0,75 ;
1

Compléter l'arbre de probabilité donnée ci-dessus :

Correction

Exercice 2

Soit l'arbre pondéré suivant :
1

Soient AA et BB, tels que P(A)=0,6P\left(A\right)=0,6 et PA(B)=12P_{A} \left(B\right)=\frac{1}{2} et PA(B)=13P_{\overline{A}} \left(\overline{B}\right)=\frac{1}{3}
Calculez P(B)P\left(B\right) ?

Correction

Exercice 3

Soit l'arbre pondéré suivant :
1

Calculer p(S)p\left(S\right) .

Correction

Exercice 4

Un conservatoire de musique propose deux parcours à ses élèves : un parcours diplômant et un parcours loisir. On observe que 40%40\% des élèves choisissent le parcours diplômant. Parmi ceux qui ont sélectionné le parcours diplômant, 30%30\% choisissent de faire partie d’un orchestre. Parmi les élèves ayant choisi le parcours loisir, 25%25\% choisissent de faire partie d’un orchestre. On sélectionne un élève de ce conservatoire au hasard.
On considère les évènements suivants :
  • DD : " L’élève sélectionné a choisi le parcours diplômant ".
  • LL : " L’élève sélectionné a choisi le parcours loisir ".
  • OO : " L’élève sélectionné a choisi de faire partie d’un orchestre ".

1

Compléter l’arbre de probabilité ci-dessus :

Correction
2

Décrire par une phrase l’événement DOD\cap O puis calculer sa probabilité.

Correction
3

Déterminer la probabilité de l’évènement OO.

Correction
4

On choisit au hasard un élève faisant partie d’un orchestre. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il suive un parcours diplômant?

Correction

Exercice 5

Soient AA et BB, tels que P(A)=0,2P\left(A\right)=0,2 et P(B)=0,5P\left(B\right)=0,5 et P(AB)=17P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{7}
1

Calculez PB(A)P_{B} \left(A\right) puis PA(B)P_{A} \left(B\right)

Correction
2

Calculer P(AB)P\left(A\cup B\right)

Correction
3

Les évènements AA et BB sont-ils indépendants ?

Correction

Exercice 6

Soient AA et BB deux évènements incompatibles ou disjoints, tels que P(A)=0,2P\left(A\right)=0,2 et P(B)=0,5P\left(B\right)=0,5
1

Calculer P(AB)P\left(A\cup B\right)

Correction

Exercice 7

Lors d'une enquête réalisée auprès de familles d'une région, on apprend que 40% des familles ont 11 enfant, 4040 % ont 22 enfants et enfin 2020% ont 33 enfants ou plus.

Toutes les familles interrogées vont en vacances chaque été.
6060% des familles avec 11 enfant vont à l’étranger, 8080% des familles avec 22 enfants restent en France et enfin 1515% des familles avec 33 enfants vont à l’étranger.

On interroge une famille de la région et on note :
  • FF l'événement : "la famille passe leurs vacances en France"
  • EE l'événement : "la famille passe leurs vacances à l'étranger"
  • AA l'événement : "la famille a un enfant "
  • BB l'événement : " la famille a deux enfants "
  • CC l'événement : " la famille a trois enfants "

Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies au millième.
1

Dresser l'arbre pondéré traduisant cette situation.

Correction
2

Calculer la probabilité de l'événement : "la famille a deux enfants et passe ses vacances en France".

Correction
3

Montrer que la probabilité de l'événement FF est égale à 0,65

Correction
4

On interroge au hasard une famille passant ses vacances en France.
Calculer la probabilité que la famille ait un enfant.

Correction

Exercice 8

1

On considère 22 évènements indépendants AA et BB , tels que P(B)=2P(A)P\left(B\right)=2P\left(A\right) et P(AB)=0,88P\left(A\cup B\right)=0,88. Alors : P(A)=P\left(A\right)=
  • 0,20,2
  • 0,30,3
  • 0,40,4
  • 0,10,1

Correction
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