La fonction exponentielle

Exercices types : 22 ème partie

Exercice 1

PARTIE A
On considère la fonction gg définie sur [0;+[\left[0;+\infty \right[ par g(x)=exx1g\left(x\right)=e^{x} -x-1
1

Etudier le sens de variation de la fonction gg sur [0;+[\left[0;+\infty \right[.

Correction
2

Déterminer le signe de g(x)g\left(x\right) suivant les valeurs de xx.

Correction
3

En déduire que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [0;+[\left[0;+\infty \right[, on a : exx>0e^{x} -x>0

Correction
PARTIE B
On considère la fonction définie sur [0;1]\left[0;1 \right] par : f(x)=ex1exxf\left(x\right)=\frac{e^{x} -1}{e^{x} -x}. On nomme CfC_{f} la courbe représentative de la fonction ff.
On admet que ff est strictement croissante sur [0;1]\left[0;1 \right]
4

Montrer que pour tout xx appartenant à [0;1]\left[0;1 \right], on a f(x)[0;1]f\left(x\right)\in \left[0;1\right].

Correction
Soit (D)\left(D\right) la droite d'équation y=xy=x.
5

Montrer que pour tout xx appartenant à l'intervalle [0;1]\left[0;1\right], on a : f(x)x=(1x)g(x)exxf\left(x\right)-x=\frac{\left(1-x\right)g\left(x\right)}{e^{x} -x}

Correction
6

Etudier la position relative de la droite (D)\left(D\right) et de la courbe CfC_{f} sur l'intervalle [0;1]\left[0;1 \right].

Correction
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