La fonction exponentielle

Exercices types : 11 ère partie

Exercice 1

Soit gg la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=(x+1)e2x+3g\left(x\right)=\left(-x+1\right)e^{2x} +3
1

Etudiez les variations de gg.

Correction
Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=(x+32)e2x+6x1f\left(x\right)=\left(-x+\frac{3}{2} \right)e^{2x} +6x-1 .
2

Démontrer que, pour tout réel xx, f(x)=2g(x)f'\left(x\right)=2g\left(x\right).

Correction

Exercice 2

Soit gg la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=ex+x+1g\left(x\right)=e^{x} +x+1 .
1

Etudiez les variations de gg.

Correction
Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[par f(x)=xexex+1f\left(x\right)=\frac{xe^{x} }{e^{x} +1} .
2

Démontrer que, pour tout réel xx, f(x)=exg(x)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} g\left(x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} } .

Correction

Exercice 3

Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=(4x+1)e2xf\left(x\right)=\left(4x+1\right)e^{-2x} .
On note (C)\left(C\right) sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
1

Montrer que, pour tout réel xx, on a : f(x)=e2x(8x+2)f'\left(x\right)=e^{-2x} \left(-8x+2\right)

Correction
2

En déduire les variations de ff puis dresser son tableau de variation.

Correction

Exercice 4

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x2+x+1)ex1f\left(x\right)=\left(x^{2} +x+1\right)e^{-x} -1
1

Montrer que, pour tout réel xx, on a : f(x)=e2x(8x+2)f'\left(x\right)=e^{-2x} \left(-8x+2\right)

Correction
2

En déduire le sens de variation de ff puis dresser son tableau de variation.

Correction
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