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Dérivation
Les dérivées des fonctions composées :
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(ax+b\right)^{n} \right)^{'} =a\times n\times \left(ax+b\right)^{n-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
- Exercice 1
8 min
15
Question 1
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
et définie par
f
(
x
)
=
(
4
x
+
2
)
7
f\left(x\right)=\left(4x+2\right)^{7}
f
(
x
)
=
(
4
x
+
2
)
7
. Déterminer l'expression de la dérivée de
f
f
f
.
Correction
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
Soit
f
(
x
)
=
(
4
x
+
2
)
7
f\left(x\right)=\left(\red{4}x+2\right)^{\purple{7}}
f
(
x
)
=
(
4
x
+
2
)
7
. Pour déterminer la dérivée de
f
f
f
, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
7
×
4
×
(
4
x
+
2
)
7
−
1
f'\left(x\right)=\purple{7}\times \red{4}\times \left(\red{4}x+2\right)^{\purple{7}-1}
f
′
(
x
)
=
7
×
4
×
(
4
x
+
2
)
7
−
1
f
′
(
x
)
=
28
(
4
x
+
2
)
6
f'\left(x\right)=28\left(4x+2\right)^{6}
f
′
(
x
)
=
28
(
4
x
+
2
)
6
Question 2
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
et définie par
f
(
x
)
=
(
−
3
x
+
10
)
5
f\left(x\right)=\left(-3x+10\right)^{5}
f
(
x
)
=
(
−
3
x
+
10
)
5
. Déterminer l'expression de la dérivée de
f
f
f
.
Correction
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
Soit
f
(
x
)
=
(
−
3
x
+
10
)
5
f\left(x\right)=\left(\red{-3}x+10\right)^{\purple{5}}
f
(
x
)
=
(
−
3
x
+
10
)
5
. Pour déterminer la dérivée de
f
f
f
, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
5
×
(
−
3
)
×
(
−
3
x
+
10
)
5
−
1
f'\left(x\right)=\purple{5}\times \red{(-3)}\times \left(\red{-3}x+10\right)^{\purple{5}-1}
f
′
(
x
)
=
5
×
(
−
3
)
×
(
−
3
x
+
10
)
5
−
1
f
′
(
x
)
=
−
15
(
−
3
x
+
10
)
4
f'\left(x\right)=-15\left(-3x+10\right)^{4}
f
′
(
x
)
=
−
15
(
−
3
x
+
10
)
4
Question 3
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
et définie par
f
(
x
)
=
(
−
7
x
−
5
)
11
f\left(x\right)=\left(-7x-5\right)^{11}
f
(
x
)
=
(
−
7
x
−
5
)
11
. Déterminer l'expression de la dérivée de
f
f
f
.
Correction
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
Soit
f
(
x
)
=
(
−
7
x
−
5
)
11
f\left(x\right)=\left(\red{-7}x-5\right)^{\purple{11}}
f
(
x
)
=
(
−
7
x
−
5
)
11
. Pour déterminer la dérivée de
f
f
f
, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
11
×
(
−
7
)
×
(
−
7
x
−
5
)
11
−
1
f'\left(x\right)=\purple{11}\times \red{(-7)}\times \left(\red{-7}x-5\right)^{\purple{11}-1}
f
′
(
x
)
=
11
×
(
−
7
)
×
(
−
7
x
−
5
)
11
−
1
f
′
(
x
)
=
−
77
(
−
7
x
−
5
)
10
f'\left(x\right)=-77\left(-7x-5\right)^{10}
f
′
(
x
)
=
−
77
(
−
7
x
−
5
)
10
Question 4
Soit
f
f
f
la fonction dérivable sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
et définie par
f
(
x
)
=
(
4
−
2
x
)
6
f\left(x\right)=\left(4-2x\right)^{6}
f
(
x
)
=
(
4
−
2
x
)
6
. Déterminer l'expression de la dérivée de
f
f
f
.
Correction
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} =\red{a}\times \purple{n}\times \left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
(
(
a
x
+
b
)
n
)
′
=
a
×
n
×
(
a
x
+
b
)
n
−
1
Soit
f
(
x
)
=
(
4
−
2
x
)
6
f\left(x\right)=\left(4\red{-2}x\right)^{\purple{6}}
f
(
x
)
=
(
4
−
2
x
)
6
. Pour déterminer la dérivée de
f
f
f
, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
6
×
(
−
2
)
×
(
4
−
2
x
)
6
−
1
f'\left(x\right)=\purple{6}\times \red{(-2)}\times \left(4\red{-2}x\right)^{\purple{6}-1}
f
′
(
x
)
=
6
×
(
−
2
)
×
(
4
−
2
x
)
6
−
1
f
′
(
x
)
=
−
12
(
4
−
2
x
)
5
f'\left(x\right)=-12\left(4-2x\right)^{5}
f
′
(
x
)
=
−
12
(
4
−
2
x
)
5