Applications de la dérivation

Les dérivées des fonctions composées : ((ax+b)n)=a×n×(ax+b)n1\left(\left(ax+b\right)^{n} \right)^{'} =a\times n\times \left(ax+b\right)^{n-1} - Exercice 1

7 min
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Question 1

Soit ff la fonction dérivable sur ];+[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=(4x+2)7f\left(x\right)=\left(4x+2\right)^{7} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)=n×a×(ax+b)n1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} = \purple{n}\times \red{a}\times\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=(4x+2)7f\left(x\right)=\left(\red{4}x+2\right)^{\purple{7}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f(x)=7×4×(4x+2)71f'\left(x\right)=\purple{7}\times \red{4}\times \left(\red{4}x+2\right)^{\purple{7}-1}
f(x)=28(4x+2)6f'\left(x\right)=28\left(4x+2\right)^{6}
Question 2

Soit ff la fonction dérivable sur ];+[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=(3x+10)5f\left(x\right)=\left(-3x+10\right)^{5} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)=n×a×(ax+b)n1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} = \purple{n}\times \red{a}\times\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=(3x+10)5f\left(x\right)=\left(\red{-3}x+10\right)^{\purple{5}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f(x)=5×(3)×(3x+10)51f'\left(x\right)=\purple{5}\times \red{(-3)}\times \left(\red{-3}x+10\right)^{\purple{5}-1}
f(x)=15(3x+10)4f'\left(x\right)=-15\left(-3x+10\right)^{4}
Question 3

Soit ff la fonction dérivable sur ];+[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=(7x5)11f\left(x\right)=\left(-7x-5\right)^{11} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)=n×a×(ax+b)n1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} = \purple{n}\times \red{a}\times\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=(7x5)11f\left(x\right)=\left(\red{-7}x-5\right)^{\purple{11}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f(x)=11×(7)×(7x5)111f'\left(x\right)=\purple{11}\times \red{(-7)}\times \left(\red{-7}x-5\right)^{\purple{11}-1}
f(x)=77(7x5)10f'\left(x\right)=-77\left(-7x-5\right)^{10}
Question 4

Soit ff la fonction dérivable sur ];+[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=(9x13)6f\left(x\right)=\left(9x-13\right)^{6} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)=n×a×(ax+b)n1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} = \purple{n}\times \red{a}\times\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=(9x13)6f\left(x\right)=\left(\red{9}x-13\right)^{\purple{6}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f(x)=6×9×(9x13)61f'\left(x\right)=\purple{6}\times \red{9}\times \left(\red{9}x-13\right)^{\purple{6}-1}
f(x)=54(9x13)5f'\left(x\right)=54\left(9x-13\right)^{5}
Question 5

Soit ff la fonction dérivable sur ];+[\left]-\infty;+\infty \right[ et définie par f(x)=6(5x1)3f\left(x\right)=6\left(5x-1\right)^{3} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • ((ax+b)n)=n×a×(ax+b)n1\left(\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}} \right)^{'} = \purple{n}\times \red{a}\times\left(\red{a}x+b\right)^{\purple{n}-1}
Soit f(x)=6(5x1)3f\left(x\right)=6\left(\red{5}x-1\right)^{\purple{3}} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f(x)=6×3×5×(5x1)31f'\left(x\right)=6\times\purple{3}\times \red{5}\times \left(\red{5}x-1\right)^{\purple{3}-1}
f(x)=90(5x1)2f'\left(x\right)=90\left(5x-1\right)^{2}