Variations des fonctions associées

Variation des fonctions associées - Exercice 1

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Soit une fonction uu définie sur l'intervalle [1;9]\left[1;9\right] dont on donne le tableau de variation ci-dessous :

Question 1

Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction ff définie par : f=−4uf=-4u.

Correction
  • Soit kk un réel négatif, alors les fonctions ff et kfkf ont des sens de variations contraires.
  • Soit kk un réel positif , alors les fonctions ff et kfkf ont des sens de variations identiques.

La fonction uu est décroissante sur l'intervalle [1;5]\left[1;5\right] donc la fonction −4u-4u est croissante sur [1;5]\left[1;5\right]
La fonction uu est croissante sur l'intervalle [5;9]\left[5;9\right] donc la fonction −4u-4u est décroissante sur [5;9]\left[5;9\right]
De plus :
f(1)=−4×u(1)f\left(1\right)=-4\times u\left(1\right) donc f(1)=8f\left(1\right)=8
f(5)=−4×u(5)f\left(5\right)=-4\times u\left(5\right) donc f(5)=12f\left(5\right)=12
f(7)=−4×u(7)f\left(7\right)=-4\times u\left(7\right) donc f(7)=0f\left(7\right)=0
f(9)=−4×u(9)f\left(9\right)=-4\times u\left(9\right) donc f(9)=−32f\left(9\right)=-32
On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction f=−4uf=-4u :
Question 2

Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction gg définie par : g=2u+3g=2u+3.

Correction
  • Soit kk un réel négatif, alors les fonctions ff et kfkf ont des sens de variations contraires.
  • Soit kk un réel positif , alors les fonctions ff et kfkf ont des sens de variations identiques.
  • Soit mm un réel , alors les fonctions ff et f+mf+m ont des sens de variations identiques.

La fonction uu est décroissante sur l'intervalle [1;5]\left[1;5\right] donc la fonction 2u2u est décroissante sur [1;5]\left[1;5\right] ainsi la fonction 2u+32u+3 est décroissante sur [1;5]\left[1;5\right].
La fonction uu est croissante sur l'intervalle [5;9]\left[5;9\right] donc la fonction 2u+32u+3 est croissante sur [5;9]\left[5;9\right] ainsi la fonction 2u+32u+3 est croissante sur [5;9]\left[5;9\right].
De plus :
g(1)=2×u(1)+3g\left(1\right)=2\times u\left(1\right)+3 donc g(1)=−1g\left(1\right)=-1
g(5)=2×u(5)+3g\left(5\right)=2\times u\left(5\right)+3 donc g(5)=−3g\left(5\right)=-3
g(7)=2×u(7)+3g\left(7\right)=2\times u\left(7\right)+3 donc g(7)=3g\left(7\right)=3
g(9)=2×u(9)+3g\left(9\right)=2\times u\left(9\right)+3 donc g(9)=19g\left(9\right)=19
On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction g=2u+3g=2u+3 :

Question 3

Sur quel intervalle II la fonction hh définie par : h=uh=\sqrt{u} est-elle définie ?
Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction hh.

Correction
    Racine carrée
  • Soit II un intervalle où la fonction ff est positive. Alors les fonctions ff et f\sqrt{f} ont des sens de variations identiques.
La fonction u\sqrt{u} est définie lorsque uu est positive. D'après le tableau de variation de uu , on remarque que la fonction uu est positive sur l'intervalle [7;9]\left[7;9\right].
Il en résulte que le domaine de définition de la fonction hh est l'intervalle [7;9]\left[7;9\right]
La fonction uu est croissante sur l'intervalle [7;9]\left[7;9\right] donc la fonction u\sqrt{u} est croissante sur [7;9]\left[7;9\right].
De plus :
h(7)=u(7)h\left(7\right)=\sqrt{u\left(7\right)} donc h(7)=0h\left(7\right)=\sqrt{0}
h(9)=u(9)h\left(9\right)=\sqrt{u\left(9\right)} donc h(9)=8h\left(9\right)=\sqrt{8}
On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction h=fh=\sqrt{f} :
Question 4

Sur quel intervalle JJ la fonction pp définie par : p=1up=\frac{1}{u} est-elle définie ?
Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction pp.

Correction
La fonction 1u\frac{1}{u} est définie lorsque uu ne s'annule pas. Or, d'après le tableau de variation de uu , on remarque que la fonction uu s'annule pour x=7x=7.
Il en résulte que le domaine de définition de la fonction mm est l'intervalle [1;7[∪]7;9]\left[1;7\right[\cup \left]7;9\right]
    Inverse
  • Soit II un intervalle où la fonction ff ne s'annule pas. Alors les fonctions ff et 1f\frac{1}{f} ont des sens de variations contraires.
La fonction uu est décroissante sur l'intervalle [1;5]\left[1;5\right] donc la fonction 1u\frac{1}{u} est croissante sur [1;5]\left[1;5\right]
La fonction uu est croissante sur l'intervalle [5;7[\left[5;7\right[ donc la fonction 1u\frac{1}{u} est décroissante sur [5;7[\left[5;7\right[
La fonction uu est croissante sur l'intervalle ]7;9]\left]7;9\right] donc la fonction 1u\frac{1}{u} est décroissante sur ]7;9]\left]7;9\right]
De plus :
p(1)=1u(1)p\left(1\right)=\frac{1}{u\left(1\right)} donc p(1)=−12p\left(1\right)=-\frac{1}{2}
p(5)=1u(5)p\left(5\right)=\frac{1}{u\left(5\right)} donc p(5)=−13p\left(5\right)=-\frac{1}{3}
p(9)=1u(9)p\left(9\right)=\frac{1}{u\left(9\right)} donc p(9)=18p\left(9\right)=\frac{1}{8}
Pour x=7x=7, nous aurons donc une valeur interdite modélisée par une double barre.
On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction p=1up=\frac{1}{u} :