Variations des fonctions associées

Un petit exercice pour tout résumer - Exercice 1

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Soit une fonction uu définie sur l'intervalle [−5;4]\left[-5;4\right] dont on donne le tableau de variation ci-dessous:
Question 1

Dresser le tableau de variation de la fonction gg définie par : g=−5ug=-5u. Vous devrez justifier.

Correction
  • Soit kk un réel négatif, alors les fonctions ff et kfkf ont des sens de variations contraires.
  • Soit kk un réel positif , alors les fonctions ff et kfkf ont des sens de variations identiques.
  • La fonction uu est décroissante sur l'intervalle [−5;−2]\left[-5;-2\right] donc la fonction −5u-5u est croissante sur [−5;−2]\left[-5;-2\right]
  • La fonction uu est croissante sur l'intervalle [−2;2]\left[-2;2\right] donc la fonction −5u-5u est décroissante sur [−2;2]\left[-2;2\right]
  • La fonction uu est décroissante sur l'intervalle [2;4]\left[2;4\right] donc la fonction −5u-5u est croissante sur [2;4]\left[2;4\right]
    • De plus :
    g(−5)=−5×u(−5)g\left(-5\right)=-5\times u\left(-5\right) donc g(−5)=−10g\left(-5\right)=-10
    g(−2)=−5×u(−2)g\left(-2\right)=-5\times u\left(-2\right) donc g(−2)=10g\left(-2\right)=10
    g(2)=−5×u(2)g\left(2\right)=-5\times u\left(2\right) donc g(2)=−25g\left(2\right)=-25
    g(4)=−5×u(4)g\left(4\right)=-5\times u\left(4\right) donc g(2)=−5g\left(2\right)=-5
    On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction g=−5ug=-5u :
    Question 2

    Dresser le tableau de variation de la fonction hh définie par : h=u−5h=u-5. Vous devrez justifier.

    Correction
    • Soit mm un réel , alors les fonctions ff et f+mf+m ont des sens de variations identiques.
  • La fonction uu est décroissante sur l'intervalle [−5;−2]\left[-5;-2\right] donc la fonction u−5u-5 est décroissante sur [−5;−2]\left[-5;-2\right]
  • La fonction uu est croissante sur l'intervalle [−2;2]\left[-2;2\right] donc la fonction u−5u-5 est croissante sur [−2;2]\left[-2;2\right]
  • La fonction uu est décroissante sur l'intervalle [2;4]\left[2;4\right] donc la fonction u−5u-5 est décroissante sur [2;4]\left[2;4\right]

    • De plus :
    h(−5)=u(−5)−5h\left(-5\right)=u\left(-5\right)-5 donc h(−5)=−3h\left(-5\right)=-3
    h(−3)=u(−3)−5h\left(-3\right)=u\left(-3\right)-5 donc h(−3)=−5h\left(-3\right)=-5
    h(−2)=u(−2)−5h\left(-2\right)=u\left(-2\right)-5 donc h(−2)=−7h\left(-2\right)=-7
    h(−1)=u(−1)−5h\left(-1\right)=u\left(-1\right)-5 donc h(−1)=−5h\left(-1\right)=-5
    h(2)=u(2)−5h\left(2\right)=u\left(2\right)-5 donc h(2)=0h\left(2\right)=0
    h(4)=u(4)−5h\left(4\right)=u\left(4\right)-5 donc h(4)=−4h\left(4\right)=-4
    On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction h=u−5h=u-5 :
    Question 3

    Dresser le tableau de variation de la fonction ii définie par : i=1ui=\frac{1}{u}. Vous devrez justifier.

    Correction
    La fonction 1u\frac{1}{u} est définie lorsque uu ne s'annule pas. Or, d'après le tableau de variation de uu ,donné ci-dessus, on remarque que la fonction uu s'annule pour x=−3x=-3 et x=−1x=-1.
    Il en résulte que le domaine de définition de la fonction ii est l'intervalle [−5;−3[∪]−3;−1[∪]−1;4[\left[-5;-3\right[\cup \left]-3;-1\right[\cup \left]-1;4\right[
    • Soit II un intervalle où la fonction ff ne s'annule pas. Alors les fonctions ff et 1f\frac{1}{f} ont des sens de variations contraires.
  • La fonction uu est décroissante sur l'intervalle [−5;−3[\left[-5;-3\right[ donc la fonction 1u\frac{1}{u} est croissante sur [−5;−3[\left[-5;-3\right[
  • La fonction uu est décroissante sur l'intervalle ]−3;−2]\left]-3;-2\right] donc la fonction 1u\frac{1}{u} est croissante sur ]−3;−2]\left]-3;-2\right]
  • La fonction uu est croissante sur l'intervalle [−2;−1[\left[-2;-1\right[ donc la fonction 1u\frac{1}{u} est décroissante sur [−2;−1[\left[-2;-1\right[
  • La fonction uu est croissante sur l'intervalle ]−1;2]\left]-1;2\right] donc la fonction 1u\frac{1}{u} est décroissante sur ]−1;2]\left]-1;2\right]
  • La fonction uu est décroissante sur l'intervalle [2;4]\left[2;4\right] donc la fonction 1u\frac{1}{u} est croissante sur [2;4]\left[2;4\right]

    • De plus :
    i(−5)=1u(−5)i\left(-5\right)=\frac{1}{u\left(-5\right)} donc i(−5)=12i\left(-5\right)=\frac{1}{2}
    i(−2)=1u(−2)i\left(-2\right)=\frac{1}{u\left(-2\right)} donc i(−2)=−12i\left(-2\right)=-\frac{1}{2}
    i(4)=1u(4)i\left(4\right)=\frac{1}{u\left(4\right)} donc i(4)=1i\left(4\right)=1
    Pour x=−3x=-3 et x=−1x=-1, nous aurons donc une valeur interdite modélisée par une double barre.
    On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction i=1fi=\frac{1}{f} :
    Question 4

    Dresser le tableau de variation de la fonction mm définie par : m=um=\sqrt{u}. Vous devrez justifier.

    Correction
    mm est définie si , et seulement si : u≥0u\ge0. D'après le tableau de variation de uu, ci-dessus, nous pouvons déterminer le tableau de signe de uu.
    Il vient alors que :

    Ainsi, l'ensemble de définition de la fonction mm est :
    Dm=[−5;−3]∪[−1;4]D_{m}=\left[-5;-3\right]\cup\left[-1;4\right]
    .
    • Soit II un intervalle où la fonction ff est positive. Alors les fonctions ff et f\sqrt{f} ont des sens de variations identiques.
  • La fonction uu est croissante sur l'intervalle [−5;−3]\left[-5;-3\right] donc la fonction u\sqrt{u} est croissante sur [−5;−3]\left[-5;-3\right].
  • La fonction uu est croissante sur l'intervalle [−1;2]\left[-1;2\right] donc la fonction u\sqrt{u} est croissante sur [−1;2]\left[-1;2\right].
  • La fonction uu est décroissante sur l'intervalle [2;4]\left[2;4\right] donc la fonction u\sqrt{u} est décroissante sur [2;4]\left[2;4\right].
    • De plus :
    m(−5)=u(−5)m\left(-5\right)=\sqrt{u\left(-5\right)} donc m(−5)=2m\left(-5\right)=\sqrt{2}
    m(−3)=u(−3)m\left(-3\right)=\sqrt{u\left(-3\right)} donc m(−3)=0m\left(-3\right)=0
    m(−1)=u(−1)m\left(-1\right)=\sqrt{u\left(-1\right)} donc m(−1)=0m\left(-1\right)=0
    m(2)=u(2)m\left(2\right)=\sqrt{u\left(2\right)} donc m(2)=5m\left(2\right)=\sqrt{5}
    m(4)=u(4)m\left(4\right)=\sqrt{u\left(4\right)} donc m(4)=2m\left(4\right)=\sqrt{2}
    On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction m=um=\sqrt{u} :