Exercices types - Exercice 1

La fonction $$f$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[-7;0\right]$$ donc la fonction $$-2f$$ est décroissante sur $$\left[-7;0\right]$$
La fonction $$f$$ est décroissante sur l'intervalle $$\left[0;6\right]$$ donc la fonction $$-2f$$ est croissante sur $$\left[0;6\right]$$
De plus :
$$g\left(-7\right)=-2\times f\left(-7\right)$$ donc $$g\left(-7\right)=-20$$
$$g\left(0\right)=-2\times f\left(0\right)$$ donc $$g\left(0\right)=-30$$
$$g\left(6\right)=-2\times f\left(6\right)$$ donc $$g\left(6\right)=6$$
On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction $$g=-2f$$ :

La fonction $$f$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[-7;0\right]$$ donc la fonction $$f-3$$ est croissante sur $$\left[-7;0\right]$$
La fonction $$f$$ est décroissante sur l'intervalle $$\left[0;6\right]$$ donc la fonction $$f-3$$ est décroissante sur $$\left[0;6\right]$$
De plus :
$$h\left(-7\right)=-2\times f\left(-7\right)-3$$ donc $$h\left(-7\right)=7$$
$$h\left(0\right)=-2\times f\left(0\right)-3$$ donc $$h\left(0\right)=12$$
$$h\left(4\right)=-2\times f\left(0\right)-3$$ donc $$h\left(4\right)=-3$$
$$h\left(6\right)=-2\times f\left(6\right)-3$$ donc $$h\left(6\right)=-6$$
On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction $$h=f-3$$ :

La fonction $$\sqrt{f}$$ est définie lorsque $$f$$ est positive. D'après le tableau de variation de $$f$$ , on remarque que la fonction $$f$$ est positive sur l'intervalle $$\left[-7;4\right]$$.
Il en résulte que le domaine de définition de la fonction $$k$$ est l'intervalle $$\left[-7;4\right]$$

D'après la question précédente, le domaine de définition de la fonction $$k$$ est l'intervalle $$\left[-7;4\right]$$.
La fonction $$f$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[-7;0\right]$$ donc la fonction $$\sqrt{f}$$ est croissante sur $$\left[-7;0\right]$$
La fonction $$f$$ est décroissante sur l'intervalle $$\left[0;4\right]$$ donc la fonction $$\sqrt{f}$$ est décroissante sur $$\left[0;4\right]$$
De plus :
$$j\left(-7\right)=\sqrt{f\left(-7\right)}$$ donc $$j\left(-7\right)=\sqrt{10}$$
$$j\left(0\right)=\sqrt{f\left(0\right)}$$ donc $$j\left(0\right)=\sqrt{15}$$
$$j\left(4\right)=\sqrt{f\left(4\right)}$$ donc $$j\left(4\right)=\sqrt{0}$$
On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction $$j=\sqrt{f}$$ :

La fonction $$\frac{1}{f}$$ est définie lorsque $$f$$ ne s'annule pas. Or, d'après le tableau de variation de $$f$$ , on remarque que la fonction $$f$$ s'annule pour $$x=4$$.
Il en résulte que le domaine de définition de la fonction $$m$$ est l'intervalle $$\left[-7;4\right[\cup \left]4;6\right]$$

D'après la question précédente, le domaine de définition de la fonction $$m$$ est l'intervalle $$\left[-7;4\right[\cup \left]4;6\right]$$.
La fonction $$f$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[-7;0\right]$$ donc la fonction $$\frac{1}{f}$$ est décroissante sur $$\left[-7;0\right]$$
La fonction $$f$$ est décroissante sur l'intervalle $$\left[0;4\right[$$ donc la fonction $$\frac{1}{f}$$ est croissante sur $$\left[0;4\right[$$
La fonction $$f$$ est décroissante sur l'intervalle $$\left]4;6\right]$$ donc la fonction $$\frac{1}{f}$$ est croissante sur $$\left]4;6\right]$$
De plus :
$$m\left(-7\right)=\frac{1}{f\left(-7\right)}$$ donc $$m\left(-7\right)=\frac{1}{10}$$
$$m\left(0\right)=\frac{1}{f\left(0\right)}$$ donc $$m\left(0\right)=\frac{1}{15}$$
$$m\left(6\right)=\frac{1}{f\left(6\right)}$$ donc $$m\left(6\right)=-\frac{1}{3}$$
Pour $$x=4$$, nous aurons donc une valeur interdite modélisée par une double barre.
On résume maintenant cela dans le tableau de variation pour la fonction $$m=\frac{1}{f}$$ :