Décomposition et variation des fonctions associées - Exercice 1

$$f$$ est définie pour toutes les valeurs réelles sauf celles qui annulent le dénominateur de $$f$$.
La valeur interdite est celle qui annule le dénominateur $$2x-5$$.
Ainsi $$2x-5=0$$ d'où $$x=\frac{5}{2}$$.
Le domaine de définition est : $$D_{f} =\left]-\infty ;\frac{5}{2} \right[\cup \left]\frac{5}{2} ;+\infty \right[$$.
Etudions, d'une part, le sens de variation de $$f$$ sur l'intervalle $$I_{1} =\left]-\infty ;\frac{5}{2} \right[$$.
On décompose la fonction $$f$$ en $$\frac{k}{u\left(x\right)}$$ avec $$u\left(x\right)=2x-5$$ et $$k=-3$$.
Pour tout $$x\in \left]-\infty ;\frac{5}{2} \right[$$, la fonction $$u$$ est croissante car il s'agit d'une fonction affine dont le coefficient directeur est positif.
La fonction $$\frac{1}{u}$$ est définie lorsque $$u\ne 0$$, ce qui est vrai sur l'intervalle $$I_{1} =\left]-\infty ;\frac{5}{2} \right[$$.
Ainsi, pour tout $$x\in \left]-\infty ;\frac{5}{2} \right[$$, la fonction $$\frac{1}{u}$$ a un sens de variation contraire à celui de la fonction $$u$$.
Donc la fonction $$\frac{1}{u}$$ est décroissante sur $$I_{1} =\left]-\infty ;\frac{5}{2} \right[$$.
De plus, la fonction $$\frac{-3}{u}$$ a un sens de variation contraire à celui de la fonction $$\frac{1}{u}$$ car $$k=-3<0$$
Donc la fonction $$\frac{-3}{u}$$ est croissante sur $$I_{1} =\left]-\infty ;\frac{5}{2} \right[$$.
Il en résulte que la fonction $$f=\frac{-3}{u}$$ est croissante sur $$I_{1} =\left]-\infty ;\frac{5}{2} \right[$$.
Finalement, la fonction $$f\left(x\right)=\frac{-3}{2x-5}$$ est croissante sur $$I_{1} =\left]-\infty ;\frac{5}{2} \right[$$.

Etudions, d'autre part, le sens de variation de $$f$$ sur l'intervalle $$I_{2} =\left]\frac{5}{2} ;+\infty\right[$$.
On décompose la fonction $$f$$ en $$\frac{k}{u\left(x\right)}$$ avec $$u\left(x\right)=2x-5$$ et $$k=-3$$.
Pour tout $$x\in \left]\frac{5}{2} ;+\infty\right[$$, la fonction $$u$$ est croissante car il s'agit d'une fonction affine dont le coefficient directeur est positif.
La fonction $$\frac{1}{u}$$ est définie lorsque $$u\ne 0$$, ce qui est vrai sur l'intervalle $$I_{2} =\left]\frac{5}{2} ;+\infty\right[$$.
Ainsi, pour tout $$x\in \left]\frac{5}{2} ;+\infty\right[$$, la fonction $$\frac{1}{u}$$ a un sens de variation contraire à celui de la fonction $$u$$.
Donc la fonction $$\frac{1}{u}$$ est décroissante sur $$I_{2} =\left]\frac{5}{2} ;+\infty\right[$$.
De plus, la fonction $$\frac{-3}{u}$$ a un sens de variation contraire à celui de la fonction $$\frac{1}{u}$$ car $$k=-3<0$$
Donc la fonction $$\frac{-3}{u}$$ est croissante sur $$I_{2} =\left]\frac{5}{2} ;+\infty\right[$$.
Il en résulte que la fonction $$f=\frac{-3}{u}$$ est croissante sur $$I_{2} =\left]\frac{5}{2} ;+\infty\right[$$.
Finalement, la fonction $$f\left(x\right)=\frac{-3}{2x-5}$$ est croissante sur $$I_{2} =\left]\frac{5}{2} ;+\infty\right[$$.
Nous résumons cela dans un tableau de variation :

La fonction $$f$$ est définie pour toutes les valeurs réelles qui rendent le radical positif ou nul.
Le radical correspond à l'expression qui est sous la racine carrée.
$$f$$ est définie si , et seulement si : $$2x-6\ge0$$.
Ainsi :
$$2x-6\ge0\Leftrightarrow 2x\ge6\Leftrightarrow x\ge\frac{6}{2}\Leftrightarrow x\ge 3$$
L'ensemble de définition de la fonction $$f$$ est : .
Nous allons donc étudier les variations de la fonction $$f$$ sur $$\left[3;+\infty\right[$$
Pour les variations, on décompose la fonction $$f$$ en $$k\sqrt{u}+m$$ avec $$u\left(x\right)=2x+6$$ ; $$k=-4$$ et $$m=-1$$.
La fonction $$u$$ est une fonction affine de coefficient directeur $$a=2>0$$. La fonction $$u$$ est donc croissante sur $$\left[3;+\infty\right[$$.
Comme les fonctions $$u$$ et $$\sqrt{u}$$ ont les mêmes variations, la fonction $$\sqrt{2x-6}$$ est croissante sur $$\left[3;+\infty\right[$$.
Ensuite : $$k\sqrt{u}$$ et $$\sqrt{u}$$ ont de sens de variations contraires car $$k=-4<0$$. Ainsi la fonction $$-4\sqrt{2x-6}$$ est décroissante sur $$\left[3;+\infty\right[$$.
Enfin : $$k\sqrt{u}$$ et $$k\sqrt{u}+m$$ ont les mêmes sens de variations (ici $$m=-1$$) . Finalement, la fonction $$-4\sqrt{2x-6} -1$$ est décroissante sur $$\left[3;+\infty\right[$$.
Il en résulte que la fonction $$f$$ est décroissante sur $$D_{f}=\left[3;+\infty\right[$$.

Nous avons une racine carrée et de plus la racine carrée est au dénominateur. Il faut donc que : $$-x+1\ge0$$ et $$-x+1\ne0$$. Autrement dit, $$f$$ est définie si, et seulement si, $$-x+1>0$$
Ainsi : $$-x+1>0\Leftrightarrow -x>-1\Leftrightarrow x<1$$
L'ensemble de définition de la fonction $$f$$ est : .
Nous allons donc étudier les variations de la fonction $$f$$ sur $$D_{f}=\left]-\infty;1\right[$$
Pour les variations, on décompose la fonction $$f$$ en $$\frac{k}{\sqrt{u} }$$ avec $$u\left(x\right)=-x+1$$ et $$k=-3$$.
La fonction $$u$$ est une fonction affine de coefficient directeur $$a=-1<0$$. La fonction $$u$$ est donc décroissante sur $$\left]-\infty;1\right[$$.
Comme les fonctions $$u$$ et $$\sqrt{u}$$ ont les mêmes variations, la fonction $$\sqrt{-x+1}$$ est croissante sur $$\left]-\infty;1\right[$$.
La fonction $$\frac{1}{\sqrt{u}}$$ est définie lorsque $$u> 0$$, ce qui est vrai sur l'intervalle $$\left]-\infty;1\right[$$.
Ainsi, pour tout $$x\in \left]-\infty;1\right[$$, la fonction $$\frac{1}{\sqrt{u}}$$ a un sens de variation contraire à celui de la fonction $$\sqrt{u}$$.
Donc la fonction $$\frac{1}{\sqrt{u}}$$ est décroissante sur $$\left]-\infty;1\right[$$. Autrement dit, la fonction $$\frac{1}{\sqrt{-x+1}}$$ est décroissante sur $$\left]-\infty;1\right[$$.
Ensuite : $$\frac{k}{\sqrt{u} }$$ et $$\frac{1}{\sqrt{u} }$$ ont de sens de variations contraires car $$k=-3<0$$. Ainsi la fonction $$\frac{-3}{\sqrt{-x+1} }$$ est croissante sur $$\left]-\infty;1\right[$$.