Produit scalaire

Produit scalaire : définition avec le cosinus - Exercice 1

5 min
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Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} à l'aide de la figure ci-dessous :
Question 1

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(AB→,AC→)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
AB→⋅AC→=5×4×cos⁡(3π4)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =5\times 4\times \cos \left(\frac{3\pi}{4} \right)
AB→⋅AC→=5×4×−22\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =5\times 4\times \frac{-\sqrt{2} }{2}
AB→⋅AC→=−10×2\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =-10\times \sqrt{2}
Question 2
Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} à l'aide de la figure ci-dessous :

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(AB→,AC→)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
AB→⋅AC→=2×1×cos⁡(2π3)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}=2\times 1\times \cos \left(\frac{2\pi}{3} \right)
AB→⋅AC→=2×1×−12\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =2\times 1\times \frac{-1 }{2}
AB→⋅AC→=−1\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =-1