Produit scalaire

Exercices types

Exercice 1

Le trapèze rectangle de la figure ci-contre est tel que : AB=7AB = 7, AD=4AD = 4, CD=4CD = 4.
Calculer les produits scalaires suivants :
1

EB.CD\vec{EB} .\vec{CD}

Correction
2

DA.AC\vec{DA} .\vec{AC}

Correction
3

DE.CA\vec{DE} .\vec{CA}

Correction
4

BA.BC\vec{BA} .\vec{BC}

Correction
5

DA.CB\vec{DA} .\vec{CB}

Correction

Exercice 2

Soit ABCDABCD un parallélogramme tel que : AB=5AB = 5 ; AD=4AD = 4 et AC=7AC = 7.
1

Déterminer la valeur exacte de : AB.AD\vec{AB} .\vec{AD}

Correction
2

En déduire la mesure de l'angle BA^DB\hat{A}D. Donnez un arrondi à 0,10,1 degré près.

Correction
3

Développer : (BA+AD)2\left(\vec{BA} +\vec{AD} \right)^{2}.

Correction
4

En déduire la valeur exacte de la longueur BCBC.

Correction

Exercice 3

Dans un repère orthonormé (0;i;j)\left(0;\vec{i} ;\vec{j}\right) , on a : A(3;5)A\left(3;5\right) , B(3;7)B\left(-3;7\right) , C(1;1)C\left(-1;1\right) et D(5;1)D\left(5;-1\right)
1

Calculer BD.AC\vec{BD} .\vec{AC}

Correction
2

Montrer que AB=DC\vec{AB} =\vec{DC}

Correction
3

Quelle est la nature du quadrilatère ABCDABCD.

Correction

Exercice 4

Dans un repère orthonormé (0;i;j)\left(0;\vec{i} ;\vec{j}\right) , on a : A(4;6)A\left(4;-6\right) , B(2;1)B\left(-2;1\right) , C(10;4)C\left(10;4\right). On note II le milieu de [AB]\left[AB\right] et Γ\Gamma le cercle de diamètre [AB]\left[AB\right].
Soit Δ\Delta la hauteur issue de AA dans le triangle ABCABC.
1

Démontrer que Δ\Delta a pour équation : 4x+y10=04x+y-10=0.

Correction
2

Démontrer que le cercle Γ\Gamma de diamètre [AB]\left[AB\right] a pour équation : x2+y22x+5y14=0x^{2}+y^{2}-2x+5y-14=0

Correction
3

Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Δ\Delta et Γ\Gamma.

Correction
On considère le point E(2;6)E\left(-2;-6\right).
4

Justifier que le point EE est sur la droite (d)\left(d\right) d'équation : 6x+7y+54=06x+7y+54=0

Correction
5

Justifier que le point EE appartient au cercle Γ\Gamma.

Correction
6

Démontrer que la droite (d)\left(d\right) est tangente au cercle Γ\Gamma en EE.

Correction

Exercice 5

Soit ABCDABCD un rectangle tel que AB=2AB = 2 et AD=2AD=\sqrt{2} . Soit II le milieu de [AB]\left[AB\right]
1

Montrer que les droites (DI)\left(DI\right) et (AC)\left(AC\right) sont perpendiculaires.

Correction
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