Probabilités

Petits problèmes....

Exercice 1

Soit XX une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous :
1

Justifier que le tableau ci-dessus représente bien une loi de probabilité.

Correction
Déterminer les probabilités suivantes :
2

P(X=2)P\left(X=2\right)

Correction
3

P(X<3)P\left(X<3\right)

Correction
4

P(X2)P\left(X\ge2\right)

Correction

Exercice 2

Sur les 700700 candidats pour un job d'été, on sait que :
  • 55%55\% des candidats sont des filles et 20%20\% d'entre elles ont eu une réponse favorable.
  • Parmi les garçons seuls 40%40\% d'entre eux ont eu une réponse favorable.
  • On note :
    FF l'évènement "la personne est une fille".
    AA l'évènement "la personne a eu une réponse favorable".
    1

    Dresser un tableau à double entrée modélisant la situation de l'exercice.

    Correction
    On rencontre par hasard une personne postulant pour le job d'été, quelle est la probabilité que ce candidat soit :
    2

    Un garçon ayant une réponse favorable?

    Correction
    3

    Une fille ayant une réponse défavorable?

    Correction
    4

    Une personne n'ayant pas eu de réponse favorable?

    Correction
    5

    On rencontre par hasard un garçon qui a postulé au job d'été. Quelle est la probabilité qu’il ait reçu une réponse favorable?

    Correction
    6

    On rencontre par hasard une personne ayant reçu une réponse favorable. Quelle est la probabilité que ce soit une fille?

    Correction

    Exercice 3

    Un site internet propose des forfaits mobiles très intéressants..
  • 20%20\% des forfaits sont vendues à 19,9919,99 euros.
  • 30%30\% des forfaits sont vendues à 9,999,99 euros.
  • Le reste des forfaits sont vendues à 4,994,99 euros.
  • On choisit, au hasard, un forfait proposé par le site internet. La variable aléatoire XX donne le prix du forfait choisi.
    1

    Donner la loi de probabilité de XX.

    Correction
    2

    Calculer l'espérance de XX et en donner une interprétation.

    Correction
    Le black friday arrive..
    Le site internet propose une réduction de 20%20\% sur l'ensemble des forfaits avec une participation de 11 euro pour l'activation du nouveau tarif.
    On note YY le nouveau prix de l'abonnement.
    3

    Quelle relation lie XX et YY

    Correction
    4

    Durant le black friday, quelle est le prix moyen du forfait.

    Correction

    Exercice 4

    Lors d'une expérience, on connaît les probabilités de deux événements AA et BB : P(A)=0,7P\left(A\right)=0,7 ; P(B)=0,4P\left(B\right)=0,4. Nous savons également P(AB)=0,5P\left(A\cap \overline{B}\right)=0,5.
    1

    Traduisez les informations à l'aide d'un tableau à double entrée.

    Correction
    2

    Calculer P(AB)P\left(A\cap B\right)

    Correction
    3

    Calculer P(AB)P\left(A\cup B\right)

    Correction
    4

    Calculer P(AB)P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)

    Correction

    Exercice 5

    Adam dispose, dans sa collection, de 8080 cartes de basket NBA dont 18\frac{1}{8} sont écrites en Anglais, les autres en Français ou en Espagnol. Il y a cinq fois plus de cartes françaises qu'anglaises.
    Il décide de proposer un jeu à la fête de son école. La personne doit tirer une carte au hasard :
    – si la carte tirée est en espagnol, le joueur perd x2x^{2} pièces de 11 euro,
    – si la carte tirée est en Français, le joueur perd 3x3x pièces de 11 euro,
    – si la carte tirée est en Anglais, Adam donne , au joueur, x3x^{3} pièces de 11 euro,
    Bien entendu, x0x\ge0.
    On note XX la variable aléatoire correspondant au gain obtenu par Adam à ce jeu.
    Pour les questions 11 et 22, on suppose que x=2x=2.
    1

    Déterminer la loi de probabilité de XX.

    Correction
    2

    Quel est le gain moyen de ce jeu ? Quelle interprétation peut-on en faire ?

    Correction
    On cherche à déterminer la valeur x0x_{0} de xx telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal.
    3

    Montrer que le problème posé revient à étudier les variations de la fonction ff définie sur [0;+[\left[0;+\infty\right[ par : f(x)=18(x3+2x2+15x)f\left(x\right)=\frac{1}{8} \left(-x^{3} +2x^{2} +15x\right)

    Correction
    4

    Étudier les variations de ff sur [0;+[\left[0;+\infty\right[.

    Correction
    5

    Déterminer x0x_{0} . En déduire le gain moyen maximal de ce jeu.

    Correction
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