Loi binomiale - Exercice 1

On traduit l'énoncé à l'aide d'un arbre, que l'on donne ci-dessous :

Notons $$X$$ la variable aléatoire qui associe le gain (positif ou négatif). Dressons dans ce cas, la loi de probabilité de $$X$$. Il vient alors que :
Nous allons maintenant calculer l’espérance mathématique de la variablede $$X$$
$$E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}$$
$$E\left(X\right)=10\times \frac{1}{4}+1\times \frac{1}{4}-5\times \frac{1}{2}$$
Ainsi :
En moyenne, une personne gagnera en moyenne $$0,25$$ euros.

Dans cette partie, il est impossible de générer un arbre car il sera trop grand. Vous aurez $$2^{6}$$ branches c'est à dire $$64$$ branches....
Cette expérience peut se ramener à la loi binomiale pourvu que l’on lance le dé toujours de la même façon. Les expériences sont indépendantes et chaque expérience a deux issues :

Soit on fait pile avec une probabilité $$p=\frac{1}{2}$$, qui correspond ici au succès.

Soit on fait face avec une probabilité $$1-p=\frac{1}{2}$$, qui correspond ici à l'échec.

On a donc une loi binomiale de paramètres $$n=6$$ et $$p=\frac{1}{2}$$ que l'on écrit : $$B\left(6;\frac{1}{2}\right)$$.
Notons $$Y$$ la variable aléatoire qui associe le nombre de piles dans le jeu. Ainsi, pour avoir $$6$$ piles, il nous faut donc calculer :
$$P\left(Y=6\right)=\left(\begin{array}{c} {6} \\ {6} \end{array}\right)\times \left(\frac{1}{2}\right)^{6} \times \left(1-\frac{1}{2}\right)^{6-6}$$
Ainsi à la calculatrice, on obtient :

Notons $$H$$ l'évènement "ne pas réussir à faire les $$6$$ piles."
$$H$$ est donc l'évènement contraire de réussir à faire les $$6$$ piles.
Il en résulte donc que :
$$P\left(H\right)=1-P\left(Y=6\right)$$

Nous allons dresser, ci-dessous, la loi de probabilité de la variable $$Z$$ qui correspond au gain possible pour le jeu.

$$E\left(Z\right)=300\times \left(\frac{1}{2}\right)^{6}-5\times \left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\right)$$
Ainsi :
En moyenne, une personne perdra en moyenne $$0,23$$ euros.