Probabilités

Intervalle de fluctuation selon la loi binomiale : Sous formes de problèmes - Exercice 1

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Question 1
Un célèbre chanteur, affirme que 52%52\% des personnes apprécie sa musique. On interroge 100100 personnes au hasard (la population est suffisamment grande pour considérer qu’il s’agit de tirages avec remise) et on souhaite savoir à partir de quelles fréquences, au seuil de 5%5\%, on peut mettre en doute le pourcentage annoncé par ce célèbre chanteur, dans un sens, ou dans l’autre.

On fait l’hypothèse que ce célèbre chanteur dit vrai et que la proportion des personnes qui lui apprécient sa musique dans la population est p=0,52p = 0,52. Montrer que la variable aléatoire XX, correspondant au nombre de personnes appréciant la musique de ce célèbre chanteur dans un échantillon de 100100 personnes, suit la loi binomiale de paramètres n=100n = 100 et p=0,52p = 0,52.

Correction
On interroge une personne au hasard, on appelle succès la personne apprécie la musique dont la probabilité est p=0,52p = 0,52 et on appelle échec la personne n'apprécie pas la musique dont la probabilité est 1−p=0,481-p = 0,48. On réitère 100100 fois cette expérience de façon identique et indépendante et l’on appelle XX le nombre de personnes appréciant la musique. XX suit alors la loi binomiale B(100;0,52)B\left(100; 0,52\right).
Question 2

Déterminer un intervalle de fluctuation à 95%95\% de la fréquence du nombres de personnes appréciant la musique de ce célèbre chanteur dans un échantillon de taille 100100.

Correction
L'intervalle de fluctuation à 95%95\% d'une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon de taille nn, d'une variable aléatoire XX de loi binomiale B(n;p)B\left(n ; p\right), est l'intervalle[an;bn]\left[\frac{a}{n} ;\frac{b}{n} \right] défini par :
  • aa est le plus petit entier tel que : P(X≤a)>0,025P\left(X\le a\right)>0,025
  • bb est le plus petit entier tel que P(X≤b)≥0,975P\left(X\le b\right)\ge 0,975
1ère cas de figure : A l'aide d'une Texas, nous suivons la procédure comme suit :
Touche f(x)f\left(x\right) ou Y=Y= → VAR → Choisir BinomFREP puis écrire BinomFREP(100100,0.520.52,XX)
Puis faire 2nde → Fenêtre puis remplir DébutTbl : 00 et Δ\DeltaTbl : 11 et enfin 2nde → Graphe
Apparaitra un tableau de valeur et dans la colonne Y1Y1, il va falloir chercher la valeur aa tel que P(X≤a)>0,025P\left(X\le a\right)>0,025 et la valeur bb tel que P(X≤b)≥0,975P\left(X\le b\right)\ge 0,975
Il en résulte donc que :
  • P(X≤42)≈0,0286>0,025P\left(X\le 42\right)\approx0,0286 >0,025 ce qui nous donne a=42a=42
  • P(X≤62)≈0,9827≥0,975P\left(X\le 62\right)\approx0,9827\ge0,975 ce qui nous donne b=62b=62
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95%95\% est alors [42100;62100]\left[\frac{42}{100} ;\frac{62}{100} \right].
2ème cas de figure : A l'aide d'une Casio graph 35+35+, nous suivons la procédure comme suit :
Menu TABLE → OPTN → F6F6 → STAT → DIST → BINM → Bcd
Ensuite il vous faut remplir comme suit à l'écran : BinominalCD(XX,nn,pp) ici on va mettre BinominalCD(XX,100100,0.520.52) puis F5F5 . Ensuite renseigné pour START : 00 et END : 100100 et Step : 11 puis EXE puis F6F6
Apparaitra un tableau de valeur et dans la colonne Y1Y1, il va falloir chercher la valeur aa tel que P(X≤a)>0,025P\left(X\le a\right)>0,025 et la valeur bb tel que P(X≤b)≥0,975P\left(X\le b\right)\ge 0,975
Il en résulte donc que :
  • P(X≤42)≈0,0286>0,025P\left(X\le 42\right)\approx0,0286 >0,025 ce qui nous donne a=42a=42
  • P(X≤62)≈0,9827≥0,975P\left(X\le 62\right)\approx0,9827\ge0,975 ce qui nous donne b=62b=62
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95%95\% est alors [42100;62100]\left[\frac{42}{100} ;\frac{62}{100} \right].
Vous trouverez ci-dessous la table des valeurs :
Question 3

Énoncer la règle décision permettant de rejeter ou non l’hypothèse p=0,52p = 0,52, selon la valeur de la fréquence ff des personnes appréciant la musique de ce célèbre chanteur sur l’échantillon.

Correction
La règle de décision est la suivante :
  • si la fréquence observée ff appartient à l’intervalle de fluctuation à 95%95\% [an;bn]\left[\frac{a}{n} ;\frac{b}{n} \right] , on considère que l’hypothèse selon laquelle la proportion est pp dans la population n’est pas remise en question et on l’accepte.
  • sinon, on rejette l’hypothèse selon laquelle cette proportion vaut pp.
Question 4

Sur les 100100 personnes interrogées au hasard, 4343 déclarent apprécier sa musique. Peut-on considérer, au seuil de 5%5\%, l’affirmation de ce chanteur?

Correction
La fréquence observée ici est fobs=43100f_{obs}=\frac{43}{100}.
Or : fobs∈[42100;62100]f_{obs}\in\left[\frac{42}{100} ;\frac{62}{100} \right]
On peut considérer , au risque de 5%5\% d'erreur ou au seuil de 95%95\% de confiance, que l'affirmation du chanteur est vraie.