Probabilités

Exercices types : Première Partie

Exercice 1

Un joueur joue au tiercé et choisit ses trois numéros au hasard. 1010 chevaux participent à la course.
1

Il y a 1010 choix pour le cheval qui arrive en premier. Combien y en a-t-il pour le deuxième ? pour le troisième ?

Correction
2

En déduire le nombre d’arrivées possibles pour les trois premiers chevaux.

Correction
Un joueur paie 2020 euros pour un ticket du tiercé.
Si son tiercé est le bon, il gagne 15001 500 euros ; si son tiercé est dans le désordre, il gagne 150150 euros. Dans les autres cas, il ne gagne rien.
3

Quelle est la loi de probabilité de son gain algébrique ?

Correction
4

Quelle est l’espérance de son gain ? Que peut-on conclure?

Correction

Exercice 2

Un groupe de théâtre s'installe à Laval en Mayenne. Le groupe propose de jouer sa pièce chaque jour et l'entrée est à 3030 euros. Une pancarte a l'entrée de la salle polyvalente a été placée et on peut lire :
Vous devez lancer le dé cubique non truqué et si :
  • Si vous faites 66 alors le spectacle sera gratuit pour vous.
  • Si vous faites 22 alors le spectacle sera demi-tarif.
  • Sinon vous devrez payer plein tarif. Et oui la troupe doit bien vivre :)
Soit XX la variable aléatoire , qui a chaque résultat du lancer de dé, le prix payé par le client.
1

Déterminer la loi de probabilité de XX.

Correction
2

Calculer l'espérance mathématique de XX.

Correction
3

Que peut-on en déduire si la salle pleine contient 15001500 places.

Correction

Exercice 3

Un avion possède deux moteurs identiques : la probabilité que chacun d'eux tombe en panne est de 0,10,1%. On suppose que la panne d'un moteur n'a aucune influence sur la panne de l'autre moteur. On appelle cela des évènements indépendants.
  • On note M1M_{1} l'évènement : le premier moteur ne tombe pas en panne.
  • On note M2M_{2} l'évènement : le deuxième moteur ne tombe pas en panne.
1

Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

Correction
2

Quelle est la probabilité que les deux moteurs tombent en panne? Donner un arrondi à 10410^{-4} près.

Correction
3

Quelle est la probabilité qu'aucun moteur ne tombe en panne? Donner un arrondi à 10410^{-4} près.

Correction

Exercice 4

Un sac contient des boules indiscernables au toucher : une boule rouge, trois boules jaunes et nn boules noires ( avec nn un entier strictement positif).
Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à prélever dans le sac une boule au hasard.
  • Si la boule tirée est rouge, le joueur reçoit 55 euros.
  • Si la boule tirée est jaune, le joueur reçoit 22 euros.
  • Si la boule tirée est noire, le joueur reçoit 11 euros.

Pour participer au jeu, le joueur doit acheter un ticket qui coûte 1,701,70 euros.
On note XnX_{n} la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur.
1

Déterminer la loi de probabilité de XnX_{n}.

Correction
2

Déterminer, en fonction de nn, l'espérance mathématique de XnX_{n}.

Correction
3

Le club souhaite gagner au moins 0,500,50 euros par partie. Quel doit être le nombre minimal de boules noires contenues dans le sac pour que cette condition soit remplie?

Correction

Exercice 5

1

On considère 22 évènements indépendants AA et BB , tels que P(B)=2P(A)P\left(B\right)=2P\left(A\right) et P(AB)=0,88P\left(A\cup B\right)=0,88. Alors : P(A)=P\left(A\right)=
  • 0,20,2
  • 0,30,3
  • 0,40,4
  • 0,10,1

Correction
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