Probabilités

Exercices types : Deuxième partie - Exercice 1

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Une toute nouvelle start-up spécialisée dans les voyages propose des formules pour visiter Rome sur un week-end. Le client choisit entre plusieurs formules :
  • La formule "Avion + AirBNB" au tarif de 320320 euros.
  • La formule "Train + AirBNB" au tarif de 430430 euros.
    • Le client peut également rajouter une option "Visite des Monuments" au tarif de 130130 euros.
    La start-up s'est basée sur les statistiques suivantes :
  • 45%45\% des clients choisissent "Avion + AirBNB" et parmi ceux-ci 60%60\% prennent l'option "Visite des Monuments".
  • 20%20\% des clients choisissent "Train + AirBNB" et prennent l'option "Visite des Monuments".
    • Question 1
    On interroge au hasard un client d'une formule week-end à Rome et on note XX sa dépense totale en euros.

    Construire un tableau des fréquences pour traduire les données de l'énoncé.

    Correction
    D'après les informations de l'énoncé, on obtient les informations suivantes :
    Question 2

    Déterminer la loi de probabilité de XX.

    Correction
    Nous avons 44 possibilités. Le client peut choisir :
  • La formule "Avion + AirBNB" ++ l'option "Visite des Monuments" . Ce qui donne : 320+130=450320+130=450 euros.
  • La formule "Avion + AirBNB" sans l'option "Visite des Monuments" . Ce qui donne : 320320 euros.
  • La formule "Train + AirBNB" ++ l'option "Visite des Monuments" . Ce qui donne : 430+130=560430+130=560 euros.
  • La formule "Train + AirBNB" sans l'option "Visite des Monuments" . Ce qui donne : 430430 euros.
    • La loi de probabilité de la variable XX est donnée par le tableau suivant :
    Question 3

    Calculer l'espérance de XX et en donner une interprétation.

    Correction
    On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
    • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
  • Calculons l'espérance ( on peut également considérer que l'espérance est la moyenne )
    • E(X)=∑xi×piE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}
    E(X)=320×0,18+430×0,35+450×0,27+560×0,2E\left(X\right)=320\times 0,18+430\times 0,35+450\times 0,27+560\times 0,2
    Ainsi :
    E(X)=441,6E\left(X\right)=441,6

    En moyenne, une personne dépense en moyenne 441,6441,6 euros pour un week-end à Rome.
    Question 4

    Combien de clients la start-up doit-elle faire souscrire pour obtenir un chiffre d'affaire supérieure à 6624066240 euros?

    Correction
    Soit xx le nombre de clients nécessaire afin d'obtenir un chiffre d'affaire supérieure à 3000030000 euros.
    Il nous faut donc résoudre l'équation :
    x×E(X)≥66240x\times E\left(X\right)\ge 66240
    x×441,6≥66240x\times 441,6\ge 66240
    x≥66240441,6x\ge \frac{66240}{441,6}
    x≥66240441,6x\ge \frac{66240}{441,6}
    D'où :
    x≥150x\ge 150

    Avec 150150 clients , la start-up peut espérer obtenir un chiffre d'affaire supérieure à 6624066240 euros.