Premières notions sur les suites numériques

Exercices types : partie 2

Exercice 1

Soit la suite numérique (un)\left(u_{n} \right) définie par u1=8u_{1} =8 et pour tout entier naturel nn non nul , un+1=un+n+1u_{n+1} =u_{n}+n+1.
1

Calculer u2u_{2} et u3u_{3}.

Correction
Soit la suite numérique (vn)\left(v_{n} \right) définie pour tout entier naturel nn non nul par : vn=12n2+12nv_{n} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n.
2

Calculer v1v_{1} ; v2v_{2} et v3v_{3}.

Correction
3

Montrer que pour tout entier naturel nn non nul, on a : vn+1=vn+n+1v_{n+1} =v_{n}+n+1.

Correction
4

Les suites (un)\left(u_{n} \right) et (vn)\left(v_{n} \right) sont-elles confondues?

Correction
Soit la suite numérique (wn)\left(w_{n} \right) définie pour tout entier naturel nn non nul par : wn=unvnw_{n} =u_{n}-v_{n}.
5

Calculer w1w_{1} ; w2w_{2} et w3w_{3}.

Correction
6

Montrer que pour tout entier naturel nn non nul , on a : wn+1wn=0w_{n+1}-w_{n}=0

Correction
On a ainsi prouvé que la suite wnw_{n} est constante. Pour tout entier naturel nn non nul, on a : wn=7w_{n}=7.
7

En déduire , que pour tout entier naturel nn non nul : un=12n2+12n+7u_{n} =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+7.

Correction
8

A l'aide de la formule de la question 77 et en utilisant la calculatrice déterminer le plus petit entier n0n_{0} tel que : un1000u_{n}\ge 1000

Correction
9

A l'aide de la formule de la question 77 et en utilisant la calculatrice déterminer le plus petit entier n1n_{1} tel que : un10000u_{n}\ge 10000

Correction
10

Quelle semble être la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right)?

Correction
Soit AA un nombre réel. Compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche la plus petite valeur de nn telle que unAu_{n}\ge A.
11

VARIABLES
nn est un entier naturel
uu et AA sont des nombres réels
INITIALISATION
nn prend la valeur 11
uu prend la valeur 88
TRAITEMENT
Tant que .........
   nn prend la valeur ...........
   uu prend la valeur u+n+1u+n+1
Fin tant que
SORTIE
Afficher ............

Correction

Exercice 2

Soit la suite numérique (un)\left(u_{n} \right) définie pour tout entier naturel nn non nul par un=2n3+nu_{n} =\frac{2-n}{3+n}.
1

Etudier les variations de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
2

Montrer que pour tout entier naturel nn, on a : un23u_{n}\le \frac{2}{3}.

Correction
3

Montrer, que pour tout entier naturel nn, on a : un=1+53+nu_{n}=-1+\frac{5}{3+n}.

Correction
4

En déduire que la suite (un)\left(u_{n} \right) est bornée.

Correction
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