Fonctions dérivées

Exercices types : partie 2

Exercice 1

Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty;+\infty \right[ par f(x)=x2x+4x2+3f\left(x\right)=\frac{x^{2}-x+4}{x^{2}+3} . On note CfC_{f} la représentation graphique de ff.
1

Calculer la dérivée de ff.

Correction
2

Etudier les variations de ff.

Correction
3

Déterminer une équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 11.

Correction

Exercice 2

Soit ff une fonction définie et continue sur [5;0]\left[-5;0\right] par f(x)=2x3+2x28x+10x24x+5f\left(x\right)=\frac{2x^{3} +2x^{2}-8x+10}{x^{2} -4x+5}
1

Montrer que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [5;0]\left[-5;0\right] , on a : f(x)=(2x2)(x28x+15)(x24x+5)2f'\left(x\right)=\frac{\left(2x^{2}\right)\left(x^{2} -8x+15\right)}{\left(x^{2} -4x+5\right)^{2} }

Correction
2

Etudier le signe de ff' et en déduire le tableau de variation de ff.

Correction
3

Déterminer une équation de la tangente TT à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 00.

Correction

Exercice 3

Adam a tracé à l'aide de sa calculatrice, la courbe représentative de la fonction ff définie sur l'intervalle [1;1]\left[-1;1\right] par : f(x)=x4+0,02x2+2f\left(x\right)=-x^{4}+0,02x^{2}+2 . Il conjecture que f(0)=2f\left(0\right)=2 est un maximum local de la fonction ff.
1

Justifier que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [1;1]\left[-1;1\right], on a : f(x)=4x(0,1x)(0,1+x)f'\left(x\right)=4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right) .

Correction
2

Etudier le signe de ff' et dresser le tableau de variation de ff.

Correction
3

La conjecture d'Adam est-elle vraie?

Correction
4

Compléter le travail d’Adam en donnant tous les extrema locaux de la fonction ff.

Correction
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