Sous forme de petits problèmes - Exercice 1

D'une part, les angles du triangle $$ACD$$, ils sont tous égaux à $$\frac{\pi }{3}$$ car $$ACD$$ est un triangle équilatéral.
D'autre part, nous allons calculer tous les angles du triangle $$ABC$$.
Nous ne tiendrons pas compte du sens direct pour les calculer.
La mesure de l'angle $$\widehat{CAB}$$ est $$\frac{\pi }{2}$$ et celle de l'angle $$\widehat{ABC}$$ est $$\frac{\pi }{6}$$ or on sait que la somme des trois angles d'un triangle vaut $$\pi$$.
Ainsi :
$$\widehat{ACB}=\pi -\frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{6}$$ soit $$\widehat{ACB}=\frac{\pi }{3}$$.
L'angle $$\left(\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right)$$ est dans le sens direct donc :

L'angle $$\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AB} \right)$$ est dans le sens indirect.
$$\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AB} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AB} \right)$$ d'après la relation de Chasles.
$$\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AB} \right)=-\frac{\pi }{3} -\frac{\pi }{2}$$
Ainsi :

$$\left(\overrightarrow{CD} ;\overrightarrow{AD} \right)=\left(-\overrightarrow{DC} ;-\overrightarrow{DA} \right)$$
De cette manière les deux vecteurs ont bien la même origine $$D$$.
$$\left(\overrightarrow{CD} ;\overrightarrow{AD} \right)=\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DA} \right).$$
L'angle $$\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DA} \right)$$ est dans le sens indirect.
Ainsi :

$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{CD} \right)$$ d'après la relation de Chasles.
Ensuite, n'oubliez pas que les vecteurs qui composent un angle orienté doivent avoir la même origine.
D'où :
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(-\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CD} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CD} \right)+\pi$$
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=\frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{3} +\pi$$
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=\frac{7\pi }{6} .$$
On va donner la mesure principale de $$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)$$.
Ainsi : $$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)=\frac{7\pi }{6} -2\pi$$ soit :