Angles orientés

Angles associés - Exercice 1

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Question 1

On considère x=43π11x=\frac{43\pi }{11} et y=π11y=\frac{-\pi }{11} .
Les nombres réels xx et yy sont-ils des mesures en radian d'un même angle orienté ?
Justifier.

Correction
Si xy=2kπx-y=2k\pi kZk\in \mathbb{Z} alors xx et yy sont des mesures en radian d'un même angle orienté.

xy=43π11(π11)x-y=\frac{43\pi }{11} -\left(\frac{-\pi }{11} \right) équivaut successivement à
xy=43π11+π11x-y=\frac{43\pi }{11} +\frac{\pi }{11}
xy=44π11x-y=\frac{44\pi }{11}
xy=4πx-y=4\pi
xy=2×kπx-y=2\times k\pi k=2k=2 et 2Z2\in \mathbb{Z}.
Les nombres réels xx et yy sont des mesures en radian d'un même angle orienté.
Question 2

On considère x=29π12x=\frac{29\pi }{12} et y=7π12y=\frac{-7\pi }{12} .
Les nombres réels xx et yy sont-ils des mesures en radian d'un même angle orienté ?
Justifier.

Correction
Si xy=2kπx-y=2k\pi kZk\in \mathbb{Z} alors xx et yy sont des mesures en radian d'un même angle orienté.

xy=29π12(7π12)x-y=\frac{29\pi }{12} -\left(\frac{-7\pi }{12} \right) équivaut successivement à
xy=29π12+7π12x-y=\frac{29\pi }{12} +\frac{7\pi }{12}
xy=36π12x-y=\frac{36\pi }{12}
xy=3πx-y=3\pi
xy=2×kπx-y=2\times k\pi k=1,5k=1,5 et 1,5Z1,5\notin \mathbb{Z}
Les nombres réels xx et yy ne sont pas des mesures en radian d'un même angle orienté.
Question 3

Les réels A=40π3A=\frac{40\pi }{3} et B=14π3B=\frac{-14\pi }{3} correspondent-ils au même point image sur le cercle trigonométrique ?
Justifier.

Correction
SI AB=2kπA-B=2k\pi kZk\in \mathbb{Z} alors AA et BB sont des mesures en radian d'un même angle orienté.
Autrement dit, AA et BB correspondent au même point image sur le cercle trigonométrique.

AB=40π3(14π3)A-B=\frac{40\pi }{3} -\left(\frac{-14\pi }{3} \right) équivaut successivement à
AB=40π3+14π3A-B=\frac{40\pi }{3} +\frac{14\pi }{3}
AB=54π3A-B=\frac{54\pi }{3}
xy=18πx-y=18\pi
xy=2×kπx-y=2\times k\pi k=9k=9 et 9Z9\in \mathbb{Z}.
Les réels AA et BB correspondent au même point image sur le cercle trigonométrique.