Second degré et discriminant

Exercices types : partie 1

Exercice 1

Un cordonnier fabrique des chaussures qu’il met en vente. On suppose que toutes les chaussures fabriquées sont vendus. Le cordonnier veut faire une étude sur la production d’un nombre de chaussures compris entre 00 et 7070. Il estime que le coût de production en euros de xx chaussures fabriqués est modélisé par la fonction CC dont l’expression est C(x)=x220x+500C\left(x\right) = x^{2} - 20x + 500 x[0;70]x\in\left[0;70\right].
Chaque chaussure est vendu 4040 euros.
On note R(x)R\left(x\right) la recette, en euros, correspondant à la vente de xx chaussures fabriqués.
1

Exprimer R(x)R\left(x\right) en fonction de xx.

Correction
2

Calculer le coût de fabrication de 3030 chaussures puis la recette réalisée en vendant ces 3030 chaussures. Le cordonnier va-t-il réaliser un bénéfice positif ?

Correction
3

Montrer que le bénéfice, en euros, réalisé par la fabrication et la vente de xx chaussures, est donné par la fonction BB dont l’expression est B(x)=x2+60x500B\left(x\right) = -x^{2} +60x -500 x[0;70]x\in\left[0;70\right]

Correction
4

Déterminer le bénéfice maximal que peut réaliser ce cordonnier.

Correction

Exercice 2

ff est une fonction polynôme du second degré définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c (avec a0a\ne 0 )
Dans chacun des cas suivants, répondre aux questions suivantes :
  • Quel est le signe de aa ?
  • Quelle est la valeur de b2a-\dfrac{b}{2a} ?
  • Quel est le signe du discriminant Δ\Delta ?
  • Quel est le signe de cc ?
1

Le tableau de variation de ff est donné ci-dessous :

Correction
2

Le tableau de variation de ff est donné ci-dessous :

Correction
3

La parabole ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction ff :

Correction
4

La parabole ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction ff :

Correction
5

La parabole ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction ff :

Correction

Exercice 3

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x2+5x+2f\left(x\right)=-3x^{2} +5x+2
1

Dresser le tableau de signe de f(x)f\left(x\right) sur R\mathbb{R}. La démarche sera détaillée.

Correction
2

En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation : 3x2+5x+20-3x^{2} +5x+2\le 0.

Correction
3

Etudier le sens de variation de ff et dresser son tableau de variation sur R\mathbb{R}.

Correction
4

Résoudre dans l'équation f(x)=2f\left(x\right)=2.

Correction
5

Déterminer l'ensemble des valeurs éventuelles de mm telles que l'équation f(x)=mf\left(x\right)=m admette deux solutions distinctes.

Correction

Exercice 4

Une entreprise fabrique des protections pour tablettes. Pour une quantité xx de protections produites par jour, le coût total en dizaines d'euros est : C(x)=x24x+80C\left(x\right)=x^{2}-4x+80 avec x[2;24]x\in\left[2;24\right].
1

Quel est le coût fixe supporté par l'entreprise?

Correction
Une protection est vendue 2020 € l'unité. On note R(x)R\left(x\right) la recette gagnée par l’entreprise pour xx protections vendues.
2

Définir la recette en fonction de xx.

Correction
On note B(x)B\left(x\right) le bénéfice de l'entreprise obtenu pour une quantité xx de protections vendues.
3

Montrer que B(x)=x2+24x80B\left(x\right)=-x^{2}+24x-80.

Correction
4

L'entreprise souhaite savoir quand est ce qu'elle gagnera de l'argent? Pouvez vous les aider à répondre à leur interrogation.

Correction
5

Dresser le tableau de variation de la fonction BB.

Correction
6

En déduire le bénéfice maximal de l'entreprise et le nombre de protections de tablettes à fabriquer pour y parvenir.

Correction

Exercice 5

1

Comment choisir le réel mm pour que l'équation 2x2mx4m=02x^{2}-mx-4m=0 , d'inconnue xx , admette x=1x=1 comme solution.

Correction
2

Déterminer le(s) réel(s) mm pour que l'équation 2x2+mx+8=02x^{2}+mx+8=0 possède une solution double.

Correction

Exercice 6

ABCDABCD est un rectangle de cotés AB=7cmAB=7cm et AD=5cmAD=5cm.
Sur chacun des côtés, on place les points MM, NN, PP et QQ respectivement sur [AB]\left[AB\right], [BC]\left[BC\right], [CD]\left[CD\right] et [DA]\left[DA\right] tel que AM=BN=CP=DQ=xAM=BN=CP=DQ=x en cm.
1

Sur quel intervalle varie xx ?
Justifier.

Correction
On note S(x)S(x) l'aire du quadrilatère MNPQMNPQ.
2

Exprimez S(x)S(x) en fonction de xx.

Correction
On veut déterminer les valeurs de xx , si elles existent, pour lesquelles l'aire du quadrilatère MNPQMNPQ est égale à 19cm219cm^{2}.
3

Montrer que cela revient à résoudre l'équation x26x+8=0x^{2} -6x+8=0.

Correction
4

Résoudre l'équation.

Correction
5

Répondre à la question posée.

Correction

Exercice 7

1

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation 5x24x+12x10\frac{-5x^{2} -4x+12}{x-1} \ge 0.

Correction
On considère la fonction ff définie sur ];1[]1;+[\left]-\infty;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[ par f(x)=3x1f\left(x\right)=\frac{3}{x-1} et la fonction gg, définie sur R\mathbb{R} par g(x)=5x+9g\left(x\right)=5x+9.
On note CfC_{f} et CgC_{g} leurs représentations graphiques dans un repère.
2

Déterminer les valeurs de xxpour lesquelles CfC_{f} est au-dessus de CgC_{g} .

Correction
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