Premières notions sur les suites numériques

Exercices types : partie 1

Exercice 1

Indiquer si les suites (un)\left(u_{n} \right) , ci-dessous, sont définies par une formule explicite ou bien par récurrence.
1

un=2n5u_{n} =2n-5

Correction
2

Soit la suite numérique (un)(u_{n}) définie par u0=3u_{0} =3 et pour tout entier naturel nn, un+1=un+6u_{n+1} =u_{n}+6

Correction
3

un=n24n1u_{n} =n^{2}-4n-1

Correction
4

un=23n+6u_{n} =\frac{2}{3n+6}

Correction
5

Soit la suite numérique (un)(u_{n}) définie par u0=9u_{0} =9 et pour tout entier naturel nn, un+1=3un+7n5u_{n+1} =3u_{n}+7n-5

Correction
6

Soit la suite numérique (un)(u_{n}) définie par u0=1u_{0} =1 et pour tout entier naturel nn, un+1=unn2+3u_{n+1} =\frac{u_{n} }{n^{2} +3}

Correction
7

un=2n+9u_{n} =\sqrt{2n} +9

Correction
8

Soit la suite numérique (un)(u_{n}) définie par u0=17u_{0} =\frac{1}{7} et pour tout entier naturel nn, un+1=5un+6u_{n+1} =\frac{5}{u_{n} } +6

Correction

Exercice 2

Soit nn un entier naturel.
On considère la suite (vn)\left(v_{n} \right) définie par vn=n24n3v_{n} =n^{2}-4n-3.
1

Calculer v0v_{0} et le quatrième terme de la suite (vn)\left(v_{n} \right).

Correction
Soit nn un entier naturel non nul.
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=n+1u_{n} =\sqrt{n+1}.
2

Calculer le premier terme et le quatrième terme de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
Soit la suite numérique (un)(u_{n}) définie par u0=2u_{0} =2 et pour tout entier naturel nn, un+1=3un+1u_{n+1} =3u_{n}+1
3

Calculez les 33 premiers termes de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
Soit la suite numérique (wn)(w_{n}) définie par w0=4w_{0} =4 et pour tout entier naturel nn, wn+1=2wnn25w_{n+1} =2w_{n}-n^{2}-5
4

Calculez les 33 premiers termes de la suite (wn)\left(w_{n} \right).

Correction
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un+2=un+1unu_{n+2} =u_{n+1}-u_{n}.
5

Exprimer un+3u_{n+3} en fonction de unu_{n}.

Correction

Exercice 3

Etudiez le sens de variation de chacune des suites (un)\left(u_{n} \right) définies par :
1

un=5n+3u_{n} =5n+3

Correction
2

un=7n+6u_{n} =-7n+6

Correction
3

un=2n21u_{n} =-2n^{2}-1

Correction
4

Soit la suite numérique (un)\left(u_{n} \right) définie par u0=1u_{0} =1 et pour tout entier naturel nn, un+1=un3n24u_{n+1} =u_{n}-3n^{2}-4

Correction
5

Soit nn un entier naturel non nul, on a : un=61nu_{n} =6-\frac{1}{n}

Correction
6

Soit nn un entier naturel , on a : un=2n+1n+3u_{n} =\frac{2n+1}{n+3}

Correction

Exercice 4

Soit nn un entier naturel.
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=n+1u_{n} =\sqrt{n+1}.
1

Déterminer le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
2

Déterminer le plus petit entier naturel n0n_{0} tel que pour tout nn0n\ge n_{0}, on a : un100u_{n}\ge 100.

Correction
3

Déterminer le plus petit entier naturel n1n_{1} tel que pour tout nn1n\ge n_{1}, on a : un106u_{n}\ge 10^{6}.

Correction
4

Conjecturer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right) lorsque nn tend vers ++\infty.

Correction

Exercice 5

Soit nn un entier naturel non nul, c'est à dire n1n\ge1.
On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par : un=2n+4n1u_{n}=2^{n}+4n-1
1

Pour tout entier naturel nn non nul , étudier le signe de un+1un1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1.

Correction
2

En déduire les variations de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
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