Exercices types : $$2$$ ^ème partie - Exercice 2

Afin de réaliser $$39$$ paquets, il faut que $$39$$ soit un diviseur de $$546$$ et de $$910$$.
$$\frac{546}{39}=14$$ $$\;\;\Rightarrow$$ Ici $$\color{blue}39$$ est bien un diviseur de $$\color{blue}546.$$
$$\frac{910}{39}\approx23,3$$ $$\;\;\Rightarrow$$ Ici $$\color{red}39$$ n'est pas un diviseur de $$\color{red}546.$$
On peut donc conclure qu'il ne pourra pas réaliser $$39$$ paquets.

Afin de déterminer le nombre de paquets maximum qu'il peut réaliser, il nous faut déterminer le plus grand diviseur commun à $$\color{red}546$$ et $$\color{red}910$$ (qu'on appelle aussi le PGCD).
1°) Décomposons $$546$$ en facteurs de nombres premiers.
$$546=2\times273=2\times3\times91=2\times3\times7\times13$$
2°) Décomposons $$910$$ en facteurs de nombres premiers.
$$910=2\times455=2\times5\times91=2\times5\times7\times13$$
On identifie les facteurs identiques à $$546$$ et $$910$$.
$$546={\color{red}2}\times3\times{\color{red}7}\times{\color{red}13}$$
$$910={\color{red}2}\times5\times{\color{red}7}\times{\color{red}13}$$
Donc : $$PGCD (546\;;\;910)=2\times7\times13=182$$
On peut donc conclure qu'il pourra réaliser $$\color{blue}182$$ paquets maximums.

De la question précédente, on sait qui peut réaliser au maximum $$182$$ paquets.
Or au total, il y a $$546$$ BD et $$910$$ romans. On a donc :
$$546:182=3$$ et $$910:182=5.$$
On peut donc conclure qu'il peut réaliser $$182$$ paquets au maximum composés de $$\color{blue}3$$ BD et de $$\color{blue}5$$ romans.

$$\frac{546}{910}=\frac{2\times3\times7\times13}{2\times5\times7\times13}$$
$$\frac{546}{910}=\frac{{\color{red}2}\times3\times{\color{red}7}\times{\color{red}13}} {{\color{red}2}\times5\times{\color{red}7}\times{\color{red}13}}$$ $$\;\;\;$$ Ici, on décompose en produit chaque nombre afin d'effectuer d'éventuelle(s) simplification(s).
$$\frac{546}{910}=\frac{{\color{red}\cancel2}\times3\times{\color{red}\cancel7}\times{\color{red}\cancel13}}{{\color{red}\cancel2}\times5\times{\color{red}\cancel7}\times{\color{red}\cancel13}}$$ $$\;\;\;$$Ici on peut simplifier la fraction, car elle n'est composée que de multiplications.
$$\frac{546}{910}=\frac{3}{5}$$

$$A=\frac{546}{910}-\frac{2}{7}$$
$$A=\frac{3}{5}-\frac{2}{7}$$ A la question précédente, on a démontré que $$\frac{546}{910}=\frac{3}{5}$$
$$A=\frac{3}{5}-\frac{2}{7}$$ $$\;$$$$\color{red}\Rightarrow$$$$\;$$ Ici, on doit mettre les fractions au même dénominateur.
$$A=\frac{3\times{\color{blue}7}}{5\times{\color{blue}7}}-\frac{2\times{\color{blue}5}}{7\times{\color{blue}5}}$$
$$A=\frac{21}{35}-\frac{10}{35}$$
$$\boxed{A=\frac{11}{35}}$$