Arithmétique

Exercices types : 11 ère partie - Exercice 2

15 min
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Question 1
Le capitaine d'un navire possède un trésor constitué de 6969 diamants, 1  1501\;150 perles et 4  1404\;140 pièces d'or.

Décomposer 6969 ; 1  1501\;150 et 4  1404\;140 en produits de facteurs premiers.

Correction
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement 2 diviseurs distincts entiers et positifs.
  • Ces deux diviseurs sont 1 \color{red}1 et le nombre lui-même.
  • Il est important de connaître les premiers nombres premiers : (2  ;  3  ;  5  ;  7  ;11  ;13  ;17  ;  19  ;  23).\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;11\;;13\;;17\;;\;19\;;\;23).
    1°) Décomposition de 69 en facteurs premiers :
    On cherche les diviseurs de 6969 dans l'ordre croissant :
    6969 est divisible par 33 ainsi : 69=3×2369={\color{red}3}\times {\color{blue}23}
    2323 est un nombre premier donc la décomposition de 6969 en produits de facteurs premiers est alors :
    69=3×2369={\color{red}3}\times {\color{blue}23}
    2°) Décomposition de 1 150 en facteurs premiers :
    1  1501\;150 est divisible par 22 ainsi : 1150=2×5751150={\color{green}2}\times 575
    575575 est divisible par 55 ainsi : 1150=2×5×1551150={\color{green}2}\times {\color{purple}5}\times155
    155155 est divisible par 55 ainsi : 1150=2×5×5×231150={\color{green}2}\times {\color{purple}5}\times {\color{purple}5}\times{\color{blue}23}
    2323 est un nombre premier donc la décomposition de 1  1501\;150 en produits de facteurs premiers est alors :
    1150=2×52×231150={\color{green}2}\times {\color{purple}5^2}\times{\color{blue}23}
    3°) Décomposition de 4 140 en facteurs premiers :
    4  1404\;140 est divisible par 22 ainsi : 4  140=2×2  0704\;140={\color{green}2}\times 2\;070
    2  0702\;070 est divisible par 22 ainsi : 4  140=2×2×1  0354\;140={\color{green}2}\times {\color{green}2}\times1\;035
    1  0351\;035 est divisible par 33 ainsi : 4  140=2×2×3×3454\;140={\color{green}2}\times {\color{green}2}\times {\color{red}3}\times345
    345345 est divisible par 33 ainsi : 4  140=2×2×3×3×1154\;140={\color{green}2}\times {\color{green}2}\times {\color{red}3}\times {\color{red}3}\times115
    115115 est divisible par 55 ainsi : 4  140=2×2×3×3×5×234\;140={\color{green}2}\times {\color{green}2}\times {\color{red}3}\times {\color{red}3}\times {\color{brown}5}\times{\color{blue}23}
    2323 est un nombre premier donc la décomposition de 4  1404\;140 en produits de facteurs premiers est alors :
    4  140=2×2×3×3×5×234\;140={\color{green}2}\times {\color{green}2}\times {\color{red}3}\times {\color{red}3}\times {\color{brown}5}\times{\color{blue}23}
    4  140=22×32×5×234\;140={\color{green}2^2}\times {\color{red}3^2}\times {\color{brown}5}\times{\color{blue}23}
    Question 2
    Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins.

    Combien y a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?

    Correction
    Ici, on doit déterminer le PGCDPGCD c'est-a-dire le plus grand diviseur commun à 69  ;  69\;;\; 1  1501\;150 et 4  140.4\;140.
    69=3×2369={\color{red}3}\times {\color{blue}23}
    1150=2×52×231150={\color{green}2}\times {\color{purple}5^2}\times{\color{blue}23}
    4  140=22×32×5×234\;140={\color{green}2^2}\times {\color{red}3^2}\times {\color{brown}5}\times{\color{blue}23}
    Ici, on constate que le facteur 23 est commun aux trois décompositions.
    On peut donc conclure qu'il y a 23 marins.