Résoudre f(x)=−4 peut également se traduire par déterminer les antécédents de −4 . On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe Cf et la droite horizontale y=−4. La droite d'équation y=−4 coupe la courbe Cf aux points d'abscisses respectives 2 et 5 . Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation f(x)=−4 est
S={2;5}
2
Résoudre graphiquement l'équation f(x)=−6 .
Correction
Résoudre f(x)=−6 peut également se traduire par déterminer les antécédents de −6 . On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe Cf et la droite horizontale y=−6. La droite d'équation y=−6 coupe la courbe Cf aux points d'abscisses respectives 3 et 4 . Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation f(x)=−6 est
S={3;4}
3
Résoudre l'équation f(x)=0 .
Correction
Résoudre l'équation f(x)=0 revient à déterminer les points d'intersection de la courbe C et de l'axe des abscisses. Ainsi : (x−1)(x−6)=0 . Il s'agit ici d'une équation produit nul. Il faut donc résoudre : x−1=0oux−6=0 D’une part : x−1=0 x=1 D’autre part : x−6=0 x=6 Les points cherchés ont pour coordonnées (1;0) et (6;0)
4
Déterminer une équation de l'axe de symétrie de la parabole C .
Correction
La représentation graphique de la fonction x↦a(x−x1)(x−x2) où a, x1 et x2 sont des constantes réelles avec a=0 est une parabole ayant la droite x=2x1+x2 comme axe de symétrie.
Nous avons f(x)=(x−1)(x−6) . D'après le rappel, nous pouvons identifier que x1=1 et x2=6 . L'axe de symétrie admet comme équation x=2x1+x2, il vient alors : x=21+6
x=27
5
Déterminer les coordonnées du sommet S de C ou encore déterminer les coordonnées de son extremum.
Correction
Déterminer les coordonnées du sommet S de C ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question. Le sommet S de la parabole C appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut 27 et son ordonnée vaut f(27)=(27−1)×(27−6) f(27)=(27−22)×(27−212) f(27)=(25)×(−25)
f(27)=−425=−6,25
Le sommet de la parabole S est donc le point de coordonnées (27;−425)
6
Résoudre graphiquement f(x)<0 .
Correction
On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont strictement en-dessous de la droite d'équation y=0 qui correspond ici à l’axe des abscisses.
Sur l'intervalle ]1;6[, la courbe représentative de la fonction f est située strictement en-dessous de l'axe des abscisses.
L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)<0 est l'intervalle :
S=]1;6[
7
Dresser le tableau de signe de f(x) lorsque x varie dans [0;7] .
Correction
D'après le graphique ci-dessous, on peut affirmer que :
La fonction f est au-dessus de l'axe des abscisses sur les intervalles [0;1]∪[6;7]
La fonction f est en-dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle [1;6]
Nous allons traduire ses données dans un tableau de signe :
8
Dresser le tableau de variation de f .
Correction
D'après la quesion 5, le sommet de la parabole S est donc le point de coordonnées (27;−425) . Il en résulte donc que :
La fonction f est décroissante sur l'intervalle [0;27]
La fonction f est croissante sur l'intervalle [27;7]
Nous traduisons cela dans un tableau de variation :
9
Dans quel intervalle varie f(x) lorsque x varie dans [0;7] .
Correction
D'après la question 8, lorsque x varie dans [0;7] alors la fonction f admet un maximum qui vaut 6 et un minimum qui vaut −425 . Il en résulte donc que lorsque x varie dans [0;7] alors f(x) sur l'intervalle [−425;6] .
Exercice 2
Un laboratoire pharmaceutique réalise des tests pour détecter la Covid19. Sa direction estime qu'elle est en mesure de réaliser entre 1600 et 3000 tests journaliers. Pour x centaines de tests réalisés, le bénéfice de l'entreprise est exprimé en dizaines d'euros par la fonction f définie sur [16;30] par : f(x)=−3x2+108x−540 . On note C la courbe représentative de la fonction f .
1
Calculer f(18) et intépreter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Correction
f(18)=−3×182+108×18−540 f(18)=−972+1900−540 Ainsi :
f(18)=432
D'après l'énoncé, x correspond aux centaines de tests réalisés. Lorsque le laboratoire réalisera 1800 tests alors son bénéfice sera de 43200 euros.
2
Quel est le bénéficie réalisé pour 2500 tests ?
Correction
Pour connaître le bénéficie réalisé pour 2500 tests, il nous faut calculer f(25) . D'où : f(25)=−3×252+108×25−540 équivaut successivement à : f(25)=−1875+2700−540 Ainsi :
f(25)=285
D'après l'énoncé, x correspond aux centaines de tests réalisés. Lorsque le laboratoire réalisera 2500 tests alors son bénéfice sera de 28500 euros.
3
Montrer que pour tout réel x de [16;30], on a : f(x)=−3(x−6)(x−30) .
Correction
Nous allons développer l'expression −3(x−6)(x−30) Il vient alors : −3(x−6)(x−30)=−3(x×x+x×(−30)+(−6)×x+(−6)×(−30)) −3(x−6)(x−30)=−3(x2−30x−6x+180) −3(x−6)(x−30)=−3(x2−36x+180) −3(x−6)(x−30)=−3×x2+(−3)×(−36x)+(−3)×180 −3(x−6)(x−30)=−3x2+108x−540 −3(x−6)(x−30)=f(x) Pour tout réel x de [16;30], on a : f(x)=−3(x−6)(x−30) .
4
Déterminer les points d'intersection de la courbe C et de l'axe des abscisses.
Correction
Pour déterminer l’intersection de la courbe de f avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation f(x)=0. Il faut utiliser la forme factorisée obtenue à la question 3. Ainsi : −3(x−6)(x−30)=0 . Il s'agit ici d'une équation produit nul. Il faut donc résoudre : x−6=0oux−30=0 D’une part : x−6=0 x=6 D’autre part : x−30=0 x=30 Les points cherchés ont pour coordonnées (6;0) et (30;0) Pour la suite de l'exercice, on notera x1=6 et x2=30 .
5
Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [16;30] .
Correction
La représentation graphique de la fonction x↦a(x−x1)(x−x2) où a, x1 et x2 sont des constantes réelles avec a=0 est une parabole admettant le point S(xS;yS) comme sommet.
xS=2x1+x2 et yS=f(xS)
Nous savons que f(x)=−3(x−6)(x−30). Ainsi : x1=6 et x2=30 . Il vient alors que : D’une part : xS=2x1+x2 xS=26+30 xS=236
xS=18
D’autre part : yS=f(xS) yS=f(18) et d'après la question 1, nous savons que f(18)=432 Ainsi :
yS=432
Le sommet de la parabole est alors S(18;432) On rappelle que f(x)=−3(x−6)(x−30)
La représentation graphique de la fonction x↦a(x−x1)(x−x2) où a, x1 et x2 sont des constantes réelles avec a=0 est une parabole.
Si a>0 la parabole est tournée vers le haut.
Si a<0 la parabole est tournée vers le bas.
Dans notre situation a=−3<0. La parabole est tournée vers le bas. On peut donc dresser le tableau de variation de la fonction f.
6
Déterminer le nombre de tests à réaliser pour un bénéfice maximal pour le laboratoire.
Correction
D'après la question 5, nous savons que :
La parabole admet donc un maximum valant 432 atteint lorsque x=18. Finalement, le laboratoire devra réaliser 1800 tests afin d'obtenir un bénéfice maximal s'élevant à 43200 euros.
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