Fonctions polynômes de degré 2
Exercices types : 1ère partie
Exercice 1
1
Résoudre graphiquement l'équation
f(x)=−4 .
Résoudre
f(x)=−4 peut également se traduire par déterminer les antécédents de
−4 .
On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe
Cf et la droite horizontale
y=−4.
La droite d'équation
y=−4 coupe la courbe
Cf aux points d'abscisses respectives
2 et
5 .
Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation
f(x)=−4 est
S={2;5} 2
Résoudre graphiquement l'équation
f(x)=−6 .
Résoudre
f(x)=−6 peut également se traduire par déterminer les antécédents de
−6 .
On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe
Cf et la droite horizontale
y=−6.
La droite d'équation
y=−6 coupe la courbe
Cf aux points d'abscisses respectives
3 et
4 .
Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation
f(x)=−6 est
S={3;4} 3
Résoudre l'équation
f(x)=0 .
Résoudre l'équation
f(x)=0 revient à déterminer les points d'intersection de la courbe
C et de l'axe des abscisses.
Ainsi :
(x−1)(x−6)=0 . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre :
x−1=0 ou x−6=0D’une part :x−1=0x=1D’autre part :x−6=0x=6Les points cherchés ont pour coordonnées
(1;0) et
(6;0)4
Déterminer une équation de l'axe de symétrie de la parabole
C .
- La représentation graphique de la fonction x↦a(x−x1)(x−x2) où a, x1 et x2 sont des constantes réelles avec a=0 est une parabole ayant la droite x=2x1+x2 comme axe de symétrie.
Nous avons
f(x)=(x−1)(x−6) . D'après le rappel, nous pouvons identifier que
x1=1 et
x2=6 .
L'axe de symétrie admet comme équation
x=2x1+x2, il vient alors :
x=21+6 5
Déterminer les coordonnées du sommet
S de
C ou encore déterminer les coordonnées de son extremum.
Déterminer les coordonnées du sommet
S de
C ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet
S de la parabole
C appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut
27 et son ordonnée vaut
f(27)=(27−1)×(27−6)f(27)=(27−22)×(27−212)f(27)=(25)×(−25) f(27)=−425=−6,25 Le sommet de la parabole
S est donc le point de coordonnées
(27;−425) 6
Résoudre graphiquement
f(x)<0 .
On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont strictement en-dessous de la droite d'équation
y=0 qui correspond ici à l’axe des abscisses.
Sur l'intervalle ]1;6[, la courbe représentative de la fonction f est située strictement en-dessous de l'axe des abscisses.L'ensemble des solutions de l'inéquation
f(x)<0 est l'intervalle :
S=]1;6[ 7
Dresser le tableau de signe de
f(x) lorsque
x varie dans
[0;7] .
D'après le graphique ci-dessous, on peut affirmer que :
La fonction f est au-dessus de l'axe des abscisses sur les intervalles [0;1]∪[6;7] La fonction f est en-dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle [1;6]Nous allons traduire ses données dans un tableau de signe :
8
Dresser le tableau de variation de
f .
D'après la quesion
5, le sommet de la parabole
S est donc le point de coordonnées
(27;−425) .
Il en résulte donc que :
La fonction f est décroissante sur l'intervalle [0;27]La fonction f est croissante sur l'intervalle [27;7]Nous traduisons cela dans un tableau de variation :
9
Dans quel intervalle varie
f(x) lorsque
x varie dans
[0;7] .
D'après la question
8, lorsque
x varie dans
[0;7] alors la fonction
f admet un maximum qui vaut
6 et un minimum qui vaut
−425 .
Il en résulte donc que lorsque
x varie dans
[0;7] alors
f(x) sur l'intervalle
[−425;6] .
Exercice 2
1
Calculer
f(18) et intépreter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
f(18)=−3×182+108×18−540f(18)=−972+1900−540Ainsi :
f(18)=432 D'après l'énoncé,
x correspond aux centaines de tests réalisés.
Lorsque le laboratoire réalisera
1800 tests alors son bénéfice sera de
43200 euros.
2
Quel est le bénéficie réalisé pour
2500 tests ?
Pour connaître le bénéficie réalisé pour
2500 tests, il nous faut calculer
f(25) .
D'où :
f(25)=−3×252+108×25−540 équivaut successivement à :
f(25)=−1875+2700−540Ainsi :
f(25)=285 D'après l'énoncé,
x correspond aux centaines de tests réalisés.
Lorsque le laboratoire réalisera
2500 tests alors son bénéfice sera de
28500 euros.
3
Montrer que pour tout réel
x de
[16;30], on a :
f(x)=−3(x−6)(x−30) .
Nous allons développer l'expression
−3(x−6)(x−30)Il vient alors :
−3(x−6)(x−30)=−3(x×x+x×(−30)+(−6)×x+(−6)×(−30))−3(x−6)(x−30)=−3(x2−30x−6x+180) −3(x−6)(x−30)=−3(x2−36x+180) −3(x−6)(x−30)=−3×x2+(−3)×(−36x)+(−3)×180 −3(x−6)(x−30)=−3x2+108x−540 −3(x−6)(x−30)=f(x) Pour tout réel
x de
[16;30], on a :
f(x)=−3(x−6)(x−30) .
4
Déterminer les points d'intersection de la courbe
C et de l'axe des abscisses.
Pour déterminer l’intersection de la courbe de
f avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation
f(x)=0. Il faut utiliser la forme factorisée obtenue à la question
3.
Ainsi :
−3(x−6)(x−30)=0 . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre :
x−6=0 ou x−30=0D’une part :x−6=0x=6D’autre part :x−30=0x=30Les points cherchés ont pour coordonnées
(6;0) et
(30;0)Pour la suite de l'exercice, on notera
x1=6 et
x2=30 .
5
Dresser le tableau de variation de la fonction
f sur l'intervalle
[16;30] .
- La représentation graphique de la fonction x↦a(x−x1)(x−x2) où a, x1 et x2 sont des constantes réelles avec a=0 est une parabole admettant le point S(xS;yS) comme sommet.
- xS=2x1+x2 et yS=f(xS)
Nous savons que
f(x)=−3(x−6)(x−30).
Ainsi :
x1=6 et
x2=30 .
Il vient alors que :
D’une part : xS=2x1+x2xS=26+30xS=236 D’autre part : yS=f(xS)yS=f(18) et d'après la question
1, nous savons que
f(18)=432Ainsi :
Le sommet de la parabole est alors
S(18;432)On rappelle que
f(x)=−3(x−6)(x−30)- La représentation graphique de la fonction x↦a(x−x1)(x−x2) où a, x1 et x2 sont des constantes réelles avec a=0 est une parabole.
- Si a>0 la parabole est tournée vers le haut.
- Si a<0 la parabole est tournée vers le bas.
Dans notre situation
a=−3<0. La parabole est tournée vers le bas.
On peut donc dresser le tableau de variation de la fonction
f.
6
Déterminer le nombre de tests à réaliser pour un bénéfice maximal pour le laboratoire.
D'après la question
5, nous savons que :
La parabole admet donc un maximum valant
432 atteint lorsque
x=18.
Finalement, le laboratoire devra réaliser
1800 tests afin d'obtenir un bénéfice maximal s'élevant à
43200 euros.
