Exercices types : 1ère partie

Résoudre $f\left(x\right)=-4$ peut également se traduire par déterminer les antécédents de $-4$ .
On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe $\mathscr{C_{f}}$ et la droite horizontale $y = -4$.
La droite d'équation $y=-4$ coupe la courbe $\mathscr{C_{f}}$ aux points d'abscisses respectives $2$ et $5$ .
Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=-4$ est

Résoudre $f\left(x\right)=-6$ peut également se traduire par déterminer les antécédents de $-6$ .
On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe $\mathscr{C_{f}}$ et la droite horizontale $y = -6$.
La droite d'équation $y=-6$ coupe la courbe $\mathscr{C_{f}}$ aux points d'abscisses respectives $3$ et $4$ .
Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=-6$ est

Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$ revient à déterminer les points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de l'axe des abscisses.
Ainsi :
$\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0$ . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : $x-1=0$ $\text{\red{ou}}$ $x-6=0$
$\text{\blue{D'une part :}}$
$x-1=0$
$x=1$
$\text{\blue{D'autre part :}}$
$x-6=0$
$x=6$
Les points cherchés ont pour coordonnées $\left(1;0\right)$ et $\left(6;0\right)$

Nous avons $f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-6\right)$ . D'après le rappel, nous pouvons identifier que $x_1=1$ et $x_2=6$ .
L'axe de symétrie admet comme équation $x=\frac{x_1+x_2}{2}$, il vient alors :
$x=\frac{1+6}{2}$

Déterminer les coordonnées du sommet $S$ de $\mathscr{C}$ ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet $S$ de la parabole $\mathscr{C}$ appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut $\frac{7}{2}$ et son ordonnée vaut $f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}-1\right)\times\left(\frac{7}{2}-6\right)$
$f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}-\frac{2}{2}\right)\times\left(\frac{7}{2}-\frac{12}{2}\right)$
$f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}\right)\times\left(-\frac{5}{2}\right)$

Le sommet de la parabole $S$ est donc le point de coordonnées $\left(\frac{7}{2};-\frac{25}{4}\right)$

On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont strictement en-dessous de la droite d'équation $y=0$ qui correspond ici à l’axe des abscisses.

Sur l'intervalle $\left]1;6\right[$, la courbe représentative de la fonction $f$ est située strictement en-dessous de l'axe des abscisses.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)<0$ est l'intervalle :

D'après le graphique ci-dessous, on peut affirmer que :

La fonction $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur les intervalles $\left[0;1\right]\cup \left[6;7\right]$

La fonction $f$ est en-dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle $\left[1;6\right]$

Nous allons traduire ses données dans un tableau de signe :

D'après la quesion $5$, le sommet de la parabole $S$ est donc le point de coordonnées $\left(\frac{7}{2};-\frac{25}{4}\right)$ .
Il en résulte donc que :

La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left[0;\frac{7}{2}\right]$

La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[\frac{7}{2};7\right]$

Nous traduisons cela dans un tableau de variation :

D'après la question $8$, lorsque $x$ varie dans $\left[0;7\right]$ alors la fonction $f$ admet un maximum qui vaut $6$ et un minimum qui vaut $-\frac{25}{4}$ .
Il en résulte donc que lorsque $x$ varie dans $\left[0;7\right]$ alors $f\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[-\frac{25}{4};6\right]$ .