Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Exercices types : lien entre la forme canonique ; la forme factorisée et la représentation graphique (sans discriminant)\red{\text{(sans discriminant)}} - Exercice 4

5 min
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ff est une fonction polynôme du second degré vérifiant les hypothèses suivantes :
  • L'image de 22 par ff est 44
  • Les antécédents de 00 sont 11 et 66
    • Question 1

    Déterminer l'expression factorisée de f(x)f\left(x\right) .

    Correction
    Forme factorisée
    • Une fonction ff polynôme du second degré admettant deux racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , alors la factorisation de ff est de la forme a(x−x1)(x−x2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right).
  • L'hypothèse l'image de 22 par ff est 44 se traduit par f(2)=4f\left(2\right)=4
  • L'hypothèse les antécédents de 00 sont 11 et 66 est équivalente à la phrase : les solutions de l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 sont x1=1x_{1}=1 et x2=6x_{2}=6

    • Il vient alors :
    ff a pour racine x1=1x_1=1 et x2=6x_2=6 donc sa forme factorisée est alors : f(x)=a(x−1)(x−6)f\left(x\right)=a\left(x-1\right)\left(x-6\right).
    Il reste maintenant à déterminer la valeur de aa . Pour cela, nous savons que f(2)=4f\left(2\right)=4
    f(2)=4f\left(2\right)=4 équivaut successivement à :
    a(2−1)(2−6)=4a\left(2-1\right)\left(2-6\right)=4
    a×1×(−4)=4a\times 1\times \left(-4\right)=4
    −4a=4-4a=4
    a=4−4a=\frac{4}{-4}
    Finalement : a=−1a=-1
    L'expression de ff est alors :
    f(x)=−(x−1)(x−6)f\left(x\right)=-\left(x-1\right)\left(x-6\right)