Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Exercices types : lien entre la forme canonique ; la forme factorisée et la représentation graphique (sans discriminant)\red{\text{(sans discriminant)}} - Exercice 2

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On donne ci-dessous la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} d'une fonction polynôme du second degré.
Question 1

Déterminer l'expression de la forme canonique de ff .

Correction
La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole.
D'après le graphique, nous pouvons lire les valeurs de β\beta et α\alpha .
Il vient alors que : α=7\alpha=-7 et β=1\beta=-1
D'après notre rappel, la forme canonique de ff s'écrit : f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
Ce qui nous donne alors :
f(x)=a(x(7))21f\left(x\right)=a\left(x-\left(-7\right)\right)^{2} -1
f(x)=a(x+7)21f\left(x\right)=a\left(x+7\right)^{2} -1
Il reste maintenant à déterminer la valeur de aa . Pour cela, le point A(10;3)A\left(-10;3\right) appartient à la parabole . Nous pouvons traduire cette donnée par f(10)=3f\left(-10\right)=3
Il nous suffit alors de remplacer tous les xx par 10-10 dans l'expression de ff afin d'obtenir la valeur de aa .
Ainsi :
f(10)=3f\left(-10\right)=3 équivaut successivement à :
a(10+7)21=3a\left(-10+7\right)^{2} -1=3
a×(3)21=3a\times\left(-3\right)^{2} -1=3
9a1=39a -1=3
9a=3+19a =3+1
9a=49a =4
Soit : a=49a =\frac{4}{9}
Finalement , l'expression de la forme canonique de ff est :
f(x)=49(x+7)21f\left(x\right)=\frac{4}{9}\left(x+7\right)^{2} -1