Second degré et discriminant

QCM

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.). Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte.
1

Soit mm un réel . L'équation 2x2+mx3=02x^2+mx-3=0 d'inconnue xx :
  • peut avoir deux racines réelles distinctes ?
  • admet une solution réelle ?
  • On ne peut pas savoir ?
  • n'a pas de solution réelle ?

Correction
2

Une forme factorisée du polynôme 3x2+7x+40-3x^2+7x+40 est :
  • 3(x5)(x83)-3\left(x-5\right)\left(x-\frac{8}{3} \right)
  • 3(x+5)(x83)-3\left(x+5\right)\left(x-\frac{8}{3} \right)
  • 3(x5)(x+83)-3\left(x-5\right)\left(x+\frac{8}{3} \right)
  • 3(x+5)(x+83)-3\left(x+5\right)\left(x+\frac{8}{3} \right)

Correction
3

Si f(x)=5x2+9x+4f\left(x\right)=5x^2+9x+4 , pour tout réel xx, alors on peut affirmer que :
  • f(x)>0f\left(x\right)>0 pour tout réel xx
  • f(x)<0f\left(x\right)<0 pour tout réel xx
  • f(x)f\left(x\right) n'est pas de signe constant sur R\mathbb{R}
  • f(x)>0f\left(x\right)>0 sur l'intervalle ]1;0,8[\left]-1;-0,8\right[

Correction
On donne ci-dessous le tableau de variation d'une fonction ff définie sur R\mathbb{R} :
4


Alors la fonction ff s'écrit :
  • x2+6x+26-x^{2}+6x+26
  • 3(x3)213\left(x-3\right)^{2} -1
  • 3(x3)21-3\left(x-3\right)^{2} -1
  • 3(x+3)21-3\left(x+3\right)^{2} -1

Correction
5

L'expression de la fonction du second degré ff ayant pour racine 1-1 et 22 et telle que f(0)=1f\left(0\right)=1 s'écrit :
  • f(x)=12(x1)(x+2)f\left(x\right)=\frac{1}{2} \left(x-1\right)\left(x+2\right)
  • f(x)=12(x1)(x+2)f\left(x\right)=-\frac{1}{2} \left(x-1\right)\left(x+2\right)
  • f(x)=12(x+1)(x2)f\left(x\right)=-\frac{1}{2} \left(x+1\right)\left(x-2\right)
  • f(x)=12(x+1)(x2)f\left(x\right)=\frac{1}{2} \left(x+1\right)\left(x-2\right)

Correction
ff est polynôme du second degré tel que : f(1)=3f\left(1\right)=3 et le signe de ff est donné ci-dessous :
6

L'expression de la fonction du second degré ff s'écrit :
  • f(x)=13(x+2)(x4)f\left(x\right)=-\frac{1}{3} \left(x+2\right)\left(x-4\right)
  • f(x)=13(x+2)(x4)f\left(x\right)=\frac{1}{3} \left(x+2\right)\left(x-4\right)
  • f(x)=13(x2)(x+4)f\left(x\right)=-\frac{1}{3} \left(x-2\right)\left(x+4\right)
  • f(x)=13(x2)(x+4)f\left(x\right)=\frac{1}{3} \left(x-2\right)\left(x+4\right)

Correction
7

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x+2)(x2+x+2)f\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x^{2}+x+2\right) . L'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 :
  • n'a pas de solution réelle .
  • admet une unique solution réelle .
  • admet deux solutions réelles distinctes .
  • admet trois solutions réelles distinctes .

Correction
8

Dans le plan muni d’un repère, les courbes représentatives des fonctions f(x)=15x2+10x1f\left(x\right)=15x^{2} +10x-1 et g(x)=19x222x+10g\left(x\right)=19x^{2} -22x+10 ont :
  • aucun point d’intersection
  • un seul point d'intersection
  • deux points d'intersection
  • quatre points d'intersection

Correction

Exercice 2

Quelles sont les phrases synonymes de : " 33 est une racine du trinôme f(x)=2x28x+6f\left(x\right)=2x^{2} -8x+6"
1

33 est l'image de 00 par le trinôme ff.

Correction
2

00 est l'image de 33 par le trinôme ff.

Correction
3

Le point de coordonnées (3;0)\left(3;0\right) appartient à la courbe représentative du trinôme ff.

Correction
4

Le trinôme ff est factorisable par x+3x+3.

Correction

Exercice 3

Soit le trinôme ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0 avec a0a\ne0 et c0c\ne0
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier bien entendu.
1

Si aa et cc sont de signes opposés, le trinôme a toujours des racines.

Correction
2

Si ax2+bx+c<0ax^{2}+bx+c<0 pour tout réel xx, alors Δ<0\Delta<0 .

Correction
3

Si Δ<0\Delta<0 alors pour tout réel xx , ax2+bx+c<0ax^{2}+bx+c<0 .

Correction
4

Si le trinôme du 22ème degré ff a pour racines 11 et 33, alors il est définit uniquement pour tout xx par : f(x)=(x1)(x3)f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)

Correction

Exercice 4

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) . Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Justifier la réponse choisie
1

Soit ff une fonction polynôme du second degré définie par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c . Sa forme canonique s'écrit alors :
a.\bf{a.} a(x+α)2+βa\left(x+\alpha\right)^{2}+\beta                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} a(xα)2+βa\left(x-\alpha\right)^{2}+\beta

c.\bf{c.} a(xα)2βa\left(x-\alpha\right)^{2}-\beta                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} a(x+α)2βa\left(x+\alpha\right)^{2}-\beta

Correction
2

Soit ff une fonction polynôme du second degré définie par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c admettant deux racines réelles distinctes. Le produit des deux racines est égale à :
a.\bf{a.} ba-\frac{b}{a}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} ca\frac{c}{a}

c.\bf{c.} ca-\frac{c}{a}                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} ac\frac{a}{c}

Correction
3

Soit ff une fonction polynôme du second degré définie par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c admettant deux racines réelles distinctes. La somme des deux racines est égale à :
a.\bf{a.} ba-\frac{b}{a}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} ba\frac{b}{a}

c.\bf{c.} ca-\frac{c}{a}                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} ab\frac{a}{b}

Correction
4

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré passant deux fois par l'axe des abscisses permet d’affirmer que :
a.\bf{a.} Δ>0\Delta>0                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} Δ=0\Delta=0

c.\bf{c.} Δ<0\Delta<0                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} Δ0\Delta\le 0

Correction
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