L'aire d'un rectangle est donnée par la formule suivante : longueur×largeur. Or , ici, nous savons que l'aire doit être égale à 87,36 m2. Il en résulte donc que : longueur×largeur=87,36 équivaut successivement à : x(x+2)=87,36 x2+2x−87,36=0. On reconnaît une équation trinôme du second degré. Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=22−4×1×(−87,36) Δ=353,44 Comme Δ>0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×1−2−353,44 d'où x1=−10,4 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×1−2+353,44 d'où x2=8,4 Les racines de l'équation x2+2x−87,36=0 sont donc :
S={−10,4;8,4}
Ici, rappelons que x correspond à la largeur du rectangle. Dans ce cas, on rejette la valuer −10,4 car une distance ne peut pas être négative. Dans ce cas, la largeur du rectangle sera de 8,4 m et la longueur du rectangle sera de 8,4+2=10,4 m. Avec ces mesures, les dimensions 8,4 et 10,4, nous avons bien un rectangle dont l'aire vaut 87,36 m2.
Exercice 2
Un étudiant en architecture modélise l'arche d'un viaduc par une fonction parabolique f:x↦−0,66x2+3,3x
1
Déterminer la hauteur et la largeur de l'arche. ( l'unité sera en mètres )
Correction
Détermination de la hauteur : La hauteur de l'arche correspond au maximum de la fonction. Il faut donc déterminer le sommet de la parabole. Autrement dit, il nous faut la forme canonique de la fonction f. Pour faciliter les calculs, nous n'allons pas ici chercher la forme canonique. Nous allons détermine à l'aide des outils de la classe de seconde la formule du sommet de la parabole. Calcul de α=2a−b Il vient alors que : α=2×(−0,66)−3,3 d'où :
α=2,5
Calcul de β=f(α) Il vient alors que : β=f(2,5) β=−0,66×2,52+3,3×2,5
β=4,125
Donc la hauteur de l'arche est de : 4,125 mètres Détermination de la largeur : La largeur de l'arche va correspondre à la distance entre les deux racines de f(x). −0,66x2+3,3x=0 . On factorise par x x(−0,66x+3,3)=0 On reconnait une équation produit nul. Soit : x=0 ou −0,66x+3,3=0 x=0 ou −0,66x=−3,3 x=0 ou x=−0,66−3,3 x=0 ou x=5 L'équation a donc deux solutions :
S={0;5}
Nous pouvons en conclure que la largeur de l'arche est de 5−0=5 mètres. ( on fait la différence des racines )
Exercice 3
1
Les mesures des côtés d'un triangle sont 4 ; 6 et 8 cm. Est-il possible d'ajouter une même longueur à chacun de ses cotés pour obtenir un triangle rectangle?
Correction
Soit ABC un triangle tel que AB=4 cm ; AC=6 cm et BC=8 cm. Notons x la longueur à ajouter afin d'obtenir un triangle rectangle. De ce fait, nous aurons ainsi : AB=4+x cm ; AC=6+x cm et BC=8+x cm Pour que le triangle ABC soit rectangle, il nous faut vérifier l'égalité de Pythagore. Soit : AB2+AC2=BC2 (4+x)2+(6+x)2=(8+x)2 équivaut successivement à : 42+2×4×x+x2+62+2×6×x+x2=82+2×8×x+x2 16+8x+x2+36+12x+x2=64+16x+x2 2x2+20x+52=x2+16x+64 2x2+20x+52−x2−16x−64=0 x2+4x−12=0 . On reconnaît une équation trinôme du second degré. Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=42−4×1×(−12) Δ=64 Comme Δ>0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×1−4−64 d'où x1=−6 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×1−4+64 d'où x2=2 Les racines de l'équation x2+4x−12=0 sont donc :
S={−6;2}
Ici, rappelons que x correspond à une longueur. Dans ce cas, on rejette la valuer −6 car une distance ne peut pas être négative. Dans ce cas, on rajoutant 2 centimètres à chacun des cotés du triangle initial, nous aurons donc un triangle rectangle. Finalement, le triangle ABC tel que AB=4+2=6 cm ; AC=6+2=8 cm et BC=8+2=10 cm est un triangle rectangle en A.
Exercice 4
1
Déterminer deux nombres réels dont la somme est 24 et le produit est 80 .
Correction
Les réels x1 et x2 deux réels vérifiant le système : {x1×x2x1+x2==PS sont également solutions de l'équation du second degré de la forme : x2−Sx+P=0
Nous voulons résoudre {xyx+y==8024 D'après le rappel, x et y sont donc solutions de l'équation x2−24x+80=0 On utilise le discriminant . 1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=1
b= nombre devant x d'où b=−24
c= nombre seul d'où c=80
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=(−24)2−4×1×80 Δ=576−320=256 Donc
Δ>0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×1−(−24)−256 d'où x1=4 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×1−(−24)+256 d'où x2=20 Les deux réels x et y vérifiant le système : {xyx+y==8024 sont les couples (4;20) et (20;4)
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