Exercices types : $3$^ème partie

Nous avons reproduit ci-dessous un rectangle dont la largeur vaut $x$ mètres et la longueur vaut $x+2$ mètres.
L'aire d'un rectangle est donnée par la formule suivante : $\text{longueur}\times \text{largeur}$. Or , ici, nous savons que l'aire doit être égale à $87,36$ m$^{2}$. Il en résulte donc que :
$\text{longueur}\times \text{largeur}=87,36$ équivaut successivement à :
$x\left(x+2\right)=87,36$
$x^{2} +2x-87,36=0$. On reconnaît une équation trinôme du second degré.
Calcul du discriminant $\Delta =b^{2} -4ac$
Ainsi : $\Delta =2^{2} -4\times 1\times \left(-87,36\right)$
$\Delta =353,44$
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $x{}_{1}$ et $x{}_{2}$ telles que :
$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{1} =\frac{-2-\sqrt{353,44} }{2\times 1}$ d'où $x{}_{1} =-10,4$
$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{2} =\frac{-2+\sqrt{353,44} }{2\times 1}$ d'où $x{}_{2} =8,4$
Les racines de l'équation $x^{2} +2x-87,36=0$ sont donc :
Ici, rappelons que $x$ correspond à la largeur du rectangle. Dans ce cas, on rejette la valuer $-10,4$ car une distance ne peut pas être négative.
Dans ce cas, la largeur du rectangle sera de $8,4$ m et la longueur du rectangle sera de $8,4+2=10,4$ m.
Avec ces mesures, les dimensions $8,4$ et $10,4$, nous avons bien un rectangle dont l'aire vaut $87,36$ m$^{2}$.

Détermination de la hauteur :
La hauteur de l'arche correspond au maximum de la fonction. Il faut donc déterminer le sommet de la parabole. Autrement dit, il nous faut la forme canonique de la fonction $f$.
Pour faciliter les calculs, nous n'allons pas ici chercher la forme canonique. Nous allons détermine à l'aide des outils de la classe de seconde la formule du sommet de la parabole.
Calcul de $\alpha =\frac{-b}{2a}$
Il vient alors que : $\alpha =\frac{-3,3}{2\times\left(-0,66\right)}$ d'où :
Calcul de $\beta =f\left(\alpha \right)$
Il vient alors que :
$\beta =f\left(2,5 \right)$
$\beta =-0,66\times2,5^{2} +3,3\times2,5$

Donc la hauteur de l'arche est de : $4,125$ mètres
Détermination de la largeur :
La largeur de l'arche va correspondre à la distance entre les deux racines de $f\left(x\right)$.
$-0,66x^{2} +3,3x=0$ . On factorise par $x$
$x\left(-0,66x +3,3\right)=0$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$x=0$ ou $-0,66x +3,3=0$
$x=0$ ou $-0,66x=-3,3$
$x=0$ ou $x=\frac{-3,3}{-0,66}$
$x=0$ ou $x=5$
L'équation a donc deux solutions :
Nous pouvons en conclure que la largeur de l'arche est de $5-0=5$ mètres. ( on fait la différence des racines )

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=4$ cm ; $AC=6$ cm et $BC=8$ cm. Notons $x$ la longueur à ajouter afin d'obtenir un triangle rectangle.
De ce fait, nous aurons ainsi : $AB=4+x$ cm ; $AC=6+x$ cm et $BC=8+x$ cm
Pour que le triangle $ABC$ soit rectangle, il nous faut vérifier l'égalité de Pythagore.
Soit :
$AB^{2} +AC^{2} =BC^{2}$
$\left(4+x\right)^{2} +\left(6+x\right)^{2} =\left(8+x\right)^{2}$ équivaut successivement à :
$4^{2} +2\times 4\times x+x^{2} +6^{2} +2\times 6\times x+x^{2} =8^{2} +2\times 8\times x+x^{2}$
$16+8x+x^{2} +36+12x+x^{2} =64+16x+x^{2}$
$2x^{2} +20x+52=x^{2} +16x+64$
$2x^{2} +20x+52-x^{2} -16x-64=0$
$x^{2} +4x-12=0$ . On reconnaît une équation trinôme du second degré.
Calcul du discriminant $\Delta =b^{2} -4ac$
Ainsi : $\Delta =4^{2} -4\times 1\times \left(-12\right)$
$\Delta =64$
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $x{}_{1}$ et $x{}_{2}$ telles que :
$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{1} =\frac{-4-\sqrt{64} }{2\times 1}$ d'où $x{}_{1} =-6$
$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{2} =\frac{-4+\sqrt{64} }{2\times 1}$ d'où $x{}_{2} =2$
Les racines de l'équation $x^{2} +4x-12=0$ sont donc :
Ici, rappelons que $x$ correspond à une longueur. Dans ce cas, on rejette la valuer $-6$ car une distance ne peut pas être négative.
Dans ce cas, on rajoutant $2$ centimètres à chacun des cotés du triangle initial, nous aurons donc un triangle rectangle.
Finalement, le triangle $ABC$ tel que $AB=4+2=6$ cm ; $AC=6+2=8$ cm et $BC=8+2=10$ cm est un triangle rectangle en $A$.

Nous voulons résoudre $\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {{\color{blue}80}} \\ {x+y} & {=} & {{\color{red}24}} \end{array}\right.$
D'après le rappel, $x$ et $y$ sont donc solutions de l'équation $x^{2}-{\color{red}24}x+{\color{blue}80}=0$
On utilise le discriminant .
1^ère étape : On définit les valeurs $a$, $b$ et $c$.

• $a=$ nombre devant $x^{2}$ d'où $a=1$
• $b=$ nombre devant $x$ d'où $b=-24$
• $c=$ nombre seul d'où $c=80$

2^ème étape : Calcul du discriminant $\Delta =b^{2} -4ac$
Ainsi :
$\Delta =\left(-24\right)^{2} -4\times 1\times 80$
$\Delta =576-320=256$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $\Delta$.
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $x{}_{1}$ et $x{}_{2}$ telles que :
$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{1} =\frac{-\left(-24\right)-\sqrt{256} }{2\times 1}$ d'où $x{}_{1} =4$
$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{2} =\frac{-\left(-24\right)+\sqrt{256} }{2\times 1}$ d'où $x{}_{2} =20$
Les deux réels $x$ et $y$ vérifiant le système : $\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {80} \\ {x+y} & {=} & {24} \end{array}\right.$ sont les couples $\left(4;20\right)$ et $\left(20;4\right)$