Exercices types : $2$^ème partie

On sait que :
$AD=BC=2$ cm et $AB=DC=6$ cm et que $DM=x$
Le segment $\left[DM\right]$ est inférieure ou égale à la mesure du segment $\left[DC\right]$.
Ainsi :

Le triangle $ADM$ est rectangle en $D$. D'après le théorème de Pythagore, on a :
$AM^{2} = DM^{2}+AD^{2}$
$AM^{2} = x^{2}+2^{2}$
Ainsi :

Le triangle $BCM$ est rectangle en $C$. D'après le théorème de Pythagore, on a :
$BM^{2} =BC^{2} +CM^{2}$
Or : $CM=CD-MD$ ce qui nous donne : $CM=6-x$
Il vient alors que :
$BM^{2} =2^{2} +\left(6-x\right)^{2}$
$BM^{2} =2^{2}+36-12x+x^{2}$
Ainsi :

Le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ s'il vérifie la réciproque du théorème de Pythagore, il nous faut donc que : $AM^{2} +BM^{2}=AB^{2}$
Or nous savons que : $AM^{2} =x^{2} +4$ ; $BM^{2} =x^{2}-12x+40$ et enfin que $AB^{2} =6^{2}$.
On a donc :
$AM^{2} +BM^{2}=AB^{2}$ équivaut successivement à :
$x^{2} +4+x^{2}-12x+40=36$
$2x^{2}-12x+8=0$ . On divise tout par $2$, ainsi :
On a bien vérifié que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ si et seulement si : $x^{2}-6x+4=0$

Résolvons : $x^{2}-6x+4=0$
Calcul du discriminant $\Delta =b^{2} -4ac$
Ainsi : $\Delta =\left(-6\right)^{2} -4\times 1\times 4$
$\Delta =36-16=20$
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $x{}_{1}$ et $x{}_{2}$ telles que :
$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{1} =\frac{-\left(-6\right)-\sqrt{20} }{2\times 1}$ d'où $x{}_{1} =3-\sqrt{5}$
$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{2} =\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{20} }{2\times 1}$ d'où $x{}_{2} =3+\sqrt{5}$
Les racines de l'équation $x^{2} -6x+4=0$ sont donc :

$x{}_{1} =3-\sqrt{5}$ donc $x{}_{1} \approx0,8$
$x{}_{2} =3+\sqrt{5}$ donc $x{}_{2} \approx5,2$
Il existe deux positions possible pour le point $M$ sur le segment $\left[DC\right]$ tel que le triangle $AMB$ soit rectangle en $M$.
Il suffit que $DM =3-\sqrt{5}$ cm ou alors que $DM=3+\sqrt{5}$ cm.

$d\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ équivaut successivement à :
$d\left(x\right)=x^{2}+2x+3-\left(-2x^{2}-x-3\right)$
$d\left(x\right)=x^{2}+2x+3+2x^{2}+x+3$
Ainsi :

Nous allons étudier dans $\mathbb{R}$ le signe de la fonction : $d\left(x\right)=3x^{2}+3x+6$.
1^ère étape : On définit les valeurs $a$, $b$ et $c$.

• $a=$ nombre devant $x^{2}$ d'où $a=3$
• $b=$ nombre devant $x$ d'où $b=3$
• $c=$ nombre seul d'où $c=6$

2^ème étape : Calcul du discriminant $\Delta =b^{2} -4ac$
Ainsi :
$\Delta =3^{2} -4\times 3\times 6$
$\Delta =-63$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $\Delta$.
Comme $\Delta <0$ alors l'équation n'admet pas de racines réelles.
Autrement dit, il n'y a pas de solution à l'équation $3x^{2}+3x+6=0$ car $\Delta <0$.
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $\Delta$.
Comme $\Delta <0$, le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de $a$.

• Si $a>0$, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que $f$ est du signe de $a$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
• Si $a<0$, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que $f$ est du signe de $a$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, $a=3>0$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $f$ est du signe de $a$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
Il vient alors que :
Sur l'intervalle $\left]-\infty ;+\infty\right[$ nous avons $3x^{2}+3x+6>0$ autrement dit $f(x)- g(x)>0$ ou encore $f(x) >g(x)$.
Cela signifie que la courbe $\mathscr{C}_{f}$ est au-dessus de la droite $\mathscr{C}_{g}$.

On va commencer par factoriser par le nombre devant le $x^{2}$ ici en l'occurrence $3$.
$f\left(x\right)=3\times \left[x^{2} -6x+8\right]$
On va maintenant prendre le coefficient devant le $x$ ici $-6$ et le multiplier par $\frac{1}{2}$.
On a ainsi, ci-dessous :
$f\left(x\right)=3\times \left[\left(x-6\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2} +8\right]$
En effet, si on développe $\left(x-6\times \frac{1}{2} \right)^{2}$on obtiendra $x^{2} -6x+\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2}$c'est pour cela que l'on retranche $\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2}$.
On a :
$f\left(x\right)=3\times \left[\left(x-6\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2} +8\right]$ qui s'écrit après simplification
$f\left(x\right)=3\left[\left(x-3 \right)^{2} -3^{2} +8\right]$
$f\left(x\right)=3\left[\left(x-3 \right)^{2} -9+8\right]$
$f\left(x\right)=3\left[\left(x-3 \right)^{2} -1\right]$. On développe l'expression par $3$.
. Cette expression est la forme canonique de $f$.

$f\left(x\right)=0$ équivaut successivement à :
$3x^{2}-18x+24=0$
Calcul du discriminant $\Delta =b^{2} -4ac$
Ainsi : $\Delta =\left(-18\right)^{2} -4\times 3\times 24$
$\Delta =324-288=36$
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $x{}_{1}$ et $x{}_{2}$ telles que :
$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{1} =\frac{-\left(-18\right)-\sqrt{36} }{2\times 3}$ d'où $x{}_{1} =2$
$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{2} =\frac{-\left(-18\right)+\sqrt{36} }{2\times 3}$ d'où $x{}_{2} =4$
Les racines de l'équation $3x^{2}-18x+24=0$ sont donc :

Ainsi, la forme factorisée de $f$ est :

Pour calculer $f\left(0\right)$ , prenons la forme développée $f\left(x\right)=3x^{2}-18x+24$. Ainsi :

$f\left(0\right)=3\times0^{2}-18\times0+24$ d'où

Pour calculer $f\left(4\right)$ , prenons la forme factorisée $f\left(x\right)=3\left(x-2\right)\left(x-4\right)$. Ainsi :

$f\left(4\right)=3\times\left(4-2\right)\times\left(4-4\right)$
$f\left(4\right)=3\times2\times0$ d'où

Pour calculer $f\left(3-\sqrt{7}\right)$ , prenons la forme canonique $f\left(x\right)=3\left(x-3\right)^{2}-3$. Ainsi :

$f\left(3-\sqrt{7}\right)=3\left(3-\sqrt{7}-3\right)^{2}-3$
$f\left(3-\sqrt{7}\right)=3\left(-\sqrt{7}\right)^{2}-3$
$f\left(3-\sqrt{7}\right)=3\times7-3$ d'où

Pour résoudre $f\left(x\right)=24$ , prenons la forme développée $f\left(x\right)=3x^{2}-18x+24$. Ainsi :

$f\left(x\right)=24$ équivaut successivement à :
$3x^{2}-18x+24=24$
$3x^{2}-18x=24-24$
$3x^{2}-18x=0$
On factorise par $x$
$x\left(3x-18\right)=0$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$x=0$ ou $3x-18=0$
$x=0$ ou $3x=18$
$x=0$ ou $x=\frac{18}{3}$
$x=0$ ou $x=6$
L'équation a donc deux solutions :

Pour résoudre $f\left(x\right)=-9$ , prenons la forme canonique $f\left(x\right)=3\left(x-3\right)^{2}-3$. Ainsi :

$f\left(x\right)=-9$ équivaut successivement à :
$3\left(x-3\right)^{2}-3=-9$
$3\left(x-3\right)^{2}=-9+3$
$3\left(x-3\right)^{2}=-6$
$\left(x-3\right)^{2}=\frac{-6}{3}$
$\left(x-3\right)^{2}=-2$
Or, un carré est positif ou nul, donc l'équation $f\left(x\right)=-9$ n'admet pas de solution.

Autrement dit, il nous faut donc calculer $C\left(0\right)$.
Ainsi :
$C\left(x\right)=0,05\times0^{2}+0+80$

Les coûts fixes de l’entreprise s'élèvent à $80$ millions d'euros.

Tout d'abord la fonction $C$ est définie sur l'intervalle $\left[0;85\right]$ .
Il nous faut résoudre l'inéquation $C\left(x\right)\ge200$ .
$C\left(x\right)\ge200$ équivaut successivement à :
$0,05x^{2}+x+80\ge200$
$0,05x^{2}+x-120\ge0$
1^ère étape : On définit les valeurs $a$, $b$ et $c$.

• $a=$ nombre devant $x^{2}$ d'où $a=0,05$
• $b=$ nombre devant $x$ d'où $b=1$
• $c=$ nombre seul d'où $c=-120$

2^ème étape : Calcul du discriminant $\Delta =b^{2} -4ac$
Ainsi :
$\Delta =1^{2} -4\times 0,05\times \left(-120\right)$
$\Delta =1+24=25$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $\Delta$.
Comme $\Delta >0$ alors la fonction $0,05x^{2}+x-120$ admet deux racines réelles distinctes notées $x_{1}$ et $x_{2}$ telles que :
$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x_{1} =\frac{-1-\sqrt{25} }{2\times 0,05}$ d'où $x_{1} =-60$
$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x_{2} =\frac{-1+\sqrt{25} }{2\times 0,05}$ d'où $x_{2} =40$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $\Delta$.
Comme $\Delta >0$ et que nous connaissons les racines $x{}_{1}$ et $x{}_{2}$, le tableau du trinôme du second degré dépend du signe de $a$.
Dans notre situation, $a=0,05>0$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que la fonction $0,05x^{2}+x-120$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre les racines.
Il vient alors que :
Finalement, les coûts de production sont supérieurs à $200$ millions à partir de $40000$ motos fabriquées et jusqu'à $85000$ motos fabriquées.

Une montant est vendue $6000$ euros. Il faut produire $40000$ motos pour avoir un coût de production égale à $200$ millions.
Ainsi : $6000\times 40000=240 000 000$.
La recette pour $40000$ motos fabriquées est de $240$ millions d'euros.

Chaque moto est vendue $6$ milliers d'euros. Il en résulte donc que :

Ainsi :
$B\left(x\right)=R\left(x\right) -C\left(x\right)$ équivaut successivement à :
$B\left(x\right)=6x -\left(0,05x^{2}+x+80\right)$
$B\left(x\right)=6x -0,05x^{2}-x-80$

Il nous faut résoudre l'inéquation $B\left(x\right)\ge0$.
$B\left(x\right)\ge0$ équivaut successivement à :
$-0,05x^{2} + 5x - 80\ge0$
1^ère étape : On définit les valeurs $a$, $b$ et $c$.

• $a=$ nombre devant $x^{2}$ d'où $a=-0,05$
• $b=$ nombre devant $x$ d'où $b=5$
• $c=$ nombre seul d'où $c=-80$

2^ème étape : Calcul du discriminant $\Delta =b^{2} -4ac$
Ainsi :
$\Delta =5^{2} -4\times \left(-0,05\right)\times \left(-80\right)$
$\Delta =25-16=9$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $\Delta$.
Comme $\Delta >0$ alors la fonction $B$ admet deux racines réelles distinctes notées $x_{1}$ et $x_{2}$ telles que :
$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x_{1} =\frac{-5-\sqrt{16} }{2\times \left(-0,05\right)}$ d'où $x_{1} =80$
$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x_{2} =\frac{-5+\sqrt{16} }{2\times \left(-0,05\right)}$ d'où $x_{2} =20$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $\Delta$.
Comme $\Delta >0$ et que nous connaissons les racines $x{}_{1}$ et $x{}_{2}$, le tableau du trinôme du second degré dépend du signe de $a$.
Dans notre situation, $a=-0,05<0$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que la fonction $B$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre les racines.
Il vient alors que :
En produisant entre $20000$ et $80000$ motos, le bénéfice sera positif.