On sait que : AD=BC=2 cm et AB=DC=6 cm et que DM=x Le segment [DM] est inférieure ou égale à la mesure du segment [DC]. Ainsi :
x∈[0;6]
2
Justifier, que quelle que soit la position du point M dans le segment [DC], on a : AM2=x2+4
Correction
Le triangle ADM est rectangle en D. D'après le théorème de Pythagore, on a : AM2=DM2+AD2 AM2=x2+22 Ainsi :
AM2=x2+4
3
Justifier, que quelle que soit la position du point M dans le segment [DC], on a : BM2=x2−12x+40
Correction
Le triangle BCM est rectangle en C. D'après le théorème de Pythagore, on a : BM2=BC2+CM2 Or : CM=CD−MD ce qui nous donne : CM=6−x Il vient alors que : BM2=22+(6−x)2 BM2=22+36−12x+x2 Ainsi :
BM2=x2−12x+40
4
En déduire que le triangle AMB est rectangle en M si et seulement si : x2−6x+4=0
Correction
Le triangle AMB est rectangle en M s'il vérifie la réciproque du théorème de Pythagore, il nous faut donc que : AM2+BM2=AB2 Or nous savons que : AM2=x2+4 ; BM2=x2−12x+40 et enfin que AB2=62. On a donc : AM2+BM2=AB2 équivaut successivement à : x2+4+x2−12x+40=36 2x2−12x+8=0 . On divise tout par 2, ainsi :
x2−6x+4=0
On a bien vérifié que le triangle AMB est rectangle en M si et seulement si : x2−6x+4=0
5
Résoudre dans R l'équation précédente.
Correction
Résolvons : x2−6x+4=0 Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=(−6)2−4×1×4 Δ=36−16=20 Comme Δ>0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×1−(−6)−20 d'où x1=3−5 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×1−(−6)+20 d'où x2=3+5 Les racines de l'équation x2−6x+4=0 sont donc :
S={3−5;3+5}
6
Donner une valeur approchée à 0,1 près des éventuelles solutions. Répondre à la problématique de l'exercice.
Correction
x1=3−5 donc x1≈0,8 x2=3+5 donc x2≈5,2 Il existe deux positions possible pour le point M sur le segment [DC] tel que le triangle AMB soit rectangle en M. Il suffit que DM=3−5 cm ou alors que DM=3+5 cm.
Exercice 2
Le plan est muni d'un repère orthonormal. On considère la fonction f définie sur R par f(x)=x2+2x+3 et on note Cf sa représentation graphique. On considère la fonction g définie sur R par g(x)=−2x2−x−3 et on note Cg sa représentation graphique.
On pose : d(x)=f(x)−g(x).
1
Exprimer d(x) en fonction de x.
Correction
d(x)=f(x)−g(x) équivaut successivement à : d(x)=x2+2x+3−(−2x2−x−3) d(x)=x2+2x+3+2x2+x+3 Ainsi :
d(x)=3x2+3x+6
2
Etudier le signe de d(x) et en déduire la position relative entre Cf et Cg.
Correction
Nous allons étudier dans R le signe de la fonction : d(x)=3x2+3x+6. 1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=3
b= nombre devant x d'où b=3
c= nombre seul d'où c=6
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=32−4×3×6 Δ=−63 Donc
Δ<0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ<0 alors l'équation n'admet pas de racines réelles. Autrement dit, il n'y a pas de solution à l'équation 3x2+3x+6=0 car Δ<0. 4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ. Comme Δ<0, le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de a.
Si a>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
Si a<0, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=3>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a et ne passe jamais par l'axe des abscisses. Il vient alors que :
Sur l'intervalle ]−∞;+∞[ nous avons 3x2+3x+6>0 autrement dit f(x)−g(x)>0 ou encore f(x)>g(x). Cela signifie que la courbe Cf est au-dessus de la droite Cg.
Exercice 3
Soit la fonction f définie sur R par : f(x)=3x2−18x+24.
1
Déterminer la forme canonique de f.
Correction
On va commencer par factoriser par le nombre devant le x2 ici en l'occurrence 3. f(x)=3×[x2−6x+8] On va maintenant prendre le coefficient devant le x ici −6 et le multiplier par 21. On a ainsi, ci-dessous : f(x)=3×[(x−6×21)2−(6×21)2+8] En effet, si on développe (x−6×21)2on obtiendra x2−6x+(6×21)2c'est pour cela que l'on retranche (6×21)2. On a : f(x)=3×[(x−6×21)2−(6×21)2+8] qui s'écrit après simplification f(x)=3[(x−3)2−32+8] f(x)=3[(x−3)2−9+8] f(x)=3[(x−3)2−1]. On développe l'expression par 3.
f(x)=3(x−3)2−3
. Cette expression est la forme canonique de f.
2
Résoudre f(x)=0
Correction
f(x)=0 équivaut successivement à : 3x2−18x+24=0 Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=(−18)2−4×3×24 Δ=324−288=36 Comme Δ>0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×3−(−18)−36 d'où x1=2 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×3−(−18)+36 d'où x2=4 Les racines de l'équation 3x2−18x+24=0 sont donc :
S={2;4}
3
En déduire la forme factorisée de f.
Correction
Forme factorisée d'un trinôme du second degré.
Si Δ>0 et que nous connaissons les racines x1 et x2, alors la factorisation est de la forme a(x−x1)(x−x2).
Si Δ=0 et que nous connaissons la racine x0, alors la factorisation est de la forme a(x−x0)2.
Si Δ<0, on ne peut pas factoriser la fonction f dans R.
Ainsi, la forme factorisée de f est :
f(x)=3(x−2)(x−4)
En choisissant la forme la plus adaptée de f :
4
Calculer f(0) ; f(4) et f(3−7) .
Correction
Pour calculer f(0) , prenons la forme développée f(x)=3x2−18x+24. Ainsi :
f(0)=3×02−18×0+24 d'où
f(0)=24
Pour calculer f(4) , prenons la forme factorisée f(x)=3(x−2)(x−4). Ainsi :
f(4)=3×(4−2)×(4−4) f(4)=3×2×0 d'où
f(4)=0
Pour calculer f(3−7) , prenons la forme canonique f(x)=3(x−3)2−3. Ainsi :
Pour résoudre f(x)=24 , prenons la forme développée f(x)=3x2−18x+24. Ainsi :
f(x)=24 équivaut successivement à : 3x2−18x+24=24 3x2−18x=24−24 3x2−18x=0 On factorise par x x(3x−18)=0 On reconnait une équation produit nul. Soit : x=0 ou 3x−18=0 x=0 ou 3x=18 x=0 ou x=318 x=0 ou x=6 L'équation a donc deux solutions :
S={0;6}
6
Résoudre f(x)=−9
Correction
Pour résoudre f(x)=−9 , prenons la forme canonique f(x)=3(x−3)2−3. Ainsi :
f(x)=−9 équivaut successivement à : 3(x−3)2−3=−9 3(x−3)2=−9+3 3(x−3)2=−6 (x−3)2=3−6 (x−3)2=−2 Or, un carré est positif ou nul, donc l'équation f(x)=−9 n'admet pas de solution.
Exercice 4
Un constructeur de moto électrique décide de faire un coût de publicité en proposant des motos à 6000 euros l'unité. Il peut produire au maximum 85000 motos. Les coûts de fabrication sont données par la formule : C(x)=0,05x2+x+80 où x est exprimé en milliers et C(x) est exprimé en millions d'euros.
1
Quel est le coût fixe supporté par l'entreprise?
Correction
On appelle coût fixe, le coût que supporte l’entreprise même si la production est nulle.
Autrement dit, il nous faut donc calculer C(0). Ainsi : C(x)=0,05×02+0+80
C(0)=80
Les coûts fixes de l’entreprise s'élèvent à 80 millions d'euros.
2
Déterminer la production de motos à partir de laquelle le cout de production est supérieur à 200 millions.
Correction
Tout d'abord la fonction C est définie sur l'intervalle [0;85] . Il nous faut résoudre l'inéquation C(x)≥200 . C(x)≥200 équivaut successivement à : 0,05x2+x+80≥200 0,05x2+x−120≥0 1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=0,05
b= nombre devant x d'où b=1
c= nombre seul d'où c=−120
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=12−4×0,05×(−120) Δ=1+24=25 Donc
Δ>0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 alors la fonction 0,05x2+x−120 admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×0,05−1−25 d'où x1=−60 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×0,05−1+25 d'où x2=40 4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 et que nous connaissons les racines x1 et x2, le tableau du trinôme du second degré dépend du signe de a. Dans notre situation, a=0,05>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que la fonction 0,05x2+x−120 est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. Il vient alors que :
Finalement, les coûts de production sont supérieurs à 200 millions à partir de 40000 motos fabriquées et jusqu'à 85000 motos fabriquées.
3
A combien s'élève la recette pour une telle production?
Correction
Une montant est vendue 6000 euros. Il faut produire 40000 motos pour avoir un coût de production égale à 200 millions. Ainsi : 6000×40000=240000000. La recette pour 40000 motos fabriquées est de 240 millions d'euros.
4
Exprimer, en fonction de x, la recette notée R(x), en millions d'euros.
Correction
Chaque moto est vendue 6 milliers d'euros. Il en résulte donc que :
R(x)=6x
5
Exprimer, en fonction de x, le bénéfice notée B(x), en millions d'euros.
Correction
Bénéfice = Recette − Coût de production
Ainsi : B(x)=R(x)−C(x) équivaut successivement à : B(x)=6x−(0,05x2+x+80) B(x)=6x−0,05x2−x−80
B(x)=−0,05x2+5x−80
6
Dans quel intervalle doit se situer la quantité de motos produites pour réaliser un bénéfice?
Correction
Il nous faut résoudre l'inéquation B(x)≥0. B(x)≥0 équivaut successivement à : −0,05x2+5x−80≥0 1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=−0,05
b= nombre devant x d'où b=5
c= nombre seul d'où c=−80
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=52−4×(−0,05)×(−80) Δ=25−16=9 Donc
Δ>0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 alors la fonction B admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×(−0,05)−5−16 d'où x1=80 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×(−0,05)−5+16 d'où x2=20 4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 et que nous connaissons les racines x1 et x2, le tableau du trinôme du second degré dépend du signe de a. Dans notre situation, a=−0,05<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que la fonction B est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. Il vient alors que :
En produisant entre 20000 et 80000 motos, le bénéfice sera positif.
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