Equations : Résoudre sans utiliser le discriminant

On remarque qu'il s'agit de l'identité remarquable $a^{2} -b^{2} =\left(a-b\right)\left(a+b\right)$
Ainsi :
$49x^{2} -16=0$ équivaut successivement à
$\left(7x\right)^{2} -\left(4\right)^{2} =0$
$\left(7x-4\right)\left(7x+4\right)=0$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$7x-4=0$ ou $7x+4=0$
$7x=4$ ou $7x=-4$
$x=\frac{4}{7}$ ou $x=-\frac{4}{7}$
L'équation a donc deux solutions

$5x^{2} -4x=0$
On factorise par $x$ :
$x\left(5x-4\right)=0$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$x=0$ ou $5x-4=0$
$x=0$ ou $5x=4$
$x=0$ ou $x=\frac{4}{5}$
L'équation a donc deux solutions :

$9x^{2} +36=0$ soit $9x^{2} =-36$.
Or un carré est positif ou nul, donc $9x^{2}$ ne peut pas être égale à $-36$.
Il n'y a donc pas de solutions réelles à l'équation $9x^{2} +36=0$.
On note :

$-2x^{2} +16x-32=0$, on va tout diviser par $-2$.
$x^{2} -8x+16=0$
On reconnait l'identité remarquable $a^{2} -2ab+b^{2} =\left(a-b\right)^{2}$
$\left(x\right)^{2} -2\times x\times 4+\left(4\right)^{2} =0$
$\left(x-4\right)^{2} =0$
$\left(x-4\right)\left(x-4\right)=0$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$x-4=0$ ou $x-4=0$
$x=4$ ou $x=4$
L'équation a donc une solution :

$3x^{2} =27$ équivaut successivement à
$x^{2} =9$
$x^{2} -9=0$
$\left(x\right)^{2} -\left(3\right)^{2} =0$
$\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$x-3=0$ ou $x+3=0$
$x=3$ ou $x=-3$
L'équation a donc deux solutions :

On factorise par $x$.
$\frac{1}{6} x-6x^{2} =0$ équivaut successivement à
$x\times \left(\frac{1}{6} -6x\right)=0$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$x=0$ ou $\frac{1}{6} -6x=0$
$x=0$ ou $-6x=-\frac{1}{6}$
$x=0$ ou $x=\frac{1}{36}$
L'équation a donc deux solutions :

$-4x^{2} -16=0$
$-4x^{2} =16$
$x^{2} =-4$
Or un carré est positif ou nul, donc $x^{2}$ ne peut pas être égale à $-4$.
Il n'y a donc pas de solutions réelles à l'équation $-4x^{2} -16=0$.
On note :

$\left(2x-4\right)\left(x-6\right)+\left(x-6\right)\left(3x+1\right)=0$ équivaut successivement à :
$\left(x-6\right)\left(2x-4+3x+1\right)=0$ . Nous avons factorisé par $x-6$.
$\left(x-6\right)\left(5x-3\right)=0$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$x-6=0$ ou $5x-3=0$
$x=6$ ou $5x=3$
$x=6$ ou $x=\frac{3}{5}$
L'équation a donc deux solutions : $S=\left\{\frac{3}{5} ;6\right\}$

D'une part, le calcul de la forme développée est :
$f(x)=\left(x+3\right)^{2} -16$ équivaut successivement à
$f(x)=x^{2} +6x+9-16$

D'autre part, le calcul de la forme factorisée est :
$f(x)=\left(x+3\right)^{2} -16$ équivaut successivement à
$f(x)=\left(x+3\right)^{2} -\left(4\right)^{2}$
$f(x)=\left(x+3-4\right)\left(x+3+4\right)$

Pour résoudre $f(x)=0$, on utilise la forme factorisée.
$f(x)=0$ équivaut successivement à
$\left(x-1\right)\left(x+7\right)=0$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$x-1=0$ ou $x+7=0$
$x=1$ ou $x=-7$
L'équation a donc deux solutions :

Pour résoudre $f(x)=-7$, on utilise la forme développée.
$f(x)=-7$
$x^{2} +6x-7=-7$
$x^{2} +6x=0$
$x\left(x+6\right)=0$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$x=0$ ou $x+6=0$
$x=0$ ou $x=-6$
L'équation a donc deux solutions :

Pour résoudre $f(x)=-16$, on utilise la forme canonique.
$f(x)=-16$ équivaut successivement à
$\left(x+3\right)^{2} -16=-16$
$\left(x+3\right)^{2} =0$
$\left(x+3\right)\left(x+3\right)=0$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$x+3=0$ ou $x+3=0$
$x=-3$ ou $x=-3$
L'équation a donc une solution :

Il faut utiliser la forme factorisée : $f(x)=\left(x-1\right)\left(x+7\right)$
$x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1$ : cela signifie que l'on va mettre le signe $+$ dans la ligne de $x-1$ lorsque $x$ sera supérieur ou égale à $1$.
$x+7\ge 0\Leftrightarrow x\ge -7$ : cela signifie que l'on va mettre le signe $$+ dans la ligne de $x+7$ lorsque $x$ sera supérieur ou égale à $-7$.

Le(s) point(s) d'intersection entre la courbe et l'axe des ordonnées on(t) une abscisse nulle. Dans ce cas, il nous suffit de calculer $f\left(0\right)$.
La forme 3 permet d'avoir rapidement la valeur de l'ordonnée. Ainsi :
$f\left(0\right)=4\times 0^{2} -8\times 0+5$
$f\left(0\right)=5$
Finalement, le point d'intersection entre la courbe $C$ et l'axe des ordonnées est le point $A$ de coordonnées $A\left(0;5\right)$.

Le(s) point(s) d'intersection(s) entre la courbe et l'axe des abscisses on(t) une ordonnée nulle. Dans ce cas, il nous suffit de résoudre $f\left(x\right)=0$.
La forme 2 est la plus adaptée pour répondre à la question demandée.
Ainsi : $\left(-2x+1\right)\left(2x+5\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
D'où :
$-2x+1=0$ ou $2x+5=0$
$\red{\text{ D'une part :}}$
$-2x+1=0$
$-2x=-1$
$x=\frac{-1}{-2}$
$x=\frac{1}{2}$
$\red{\text{ D'autre part :}}$
$2x+5=0$
$2x=-5$
$x=\frac{-5}{2}$
Finalement, les coordonnées des points d'intersection de $C$ avec l'axe des abscisses sont : $B\left(\frac{1}{2};0\right)$ et $D\left(\frac{-5}{2};0\right)$

Pour déterminer les coordonnées du sommet $S$ de la parabole $C$, nous allons utiliser la forme 1 qui est la forme canonique.
D'après nos souvenirs de seconde :), on sait que la forme canonique est : $a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$ et les coordonnées du sommet sont alors $S\left(\alpha ;\beta \right)$.
Il en résulte donc que : $f\left(x\right)=4\left(x+1\right)^{2} +9$ et ainsi les coordonnées du sommet sont :