Soient A, B et C trois points du plan. On a : AB⋅AC=21[AB2+AC2−CB2] . Il s'agit de l'expression du produit scalaire avec les longueurs dans un triangle.
D'après le rappel, nous savons que : AB⋅AC=21[AB2+AC2−CB2] . Il ne nous reste plus qu'à substituer par les valeurs des côtés que l'on connait : AB⋅AC=21[102+82−132] AB⋅AC=21[100+64−169] AB⋅AC=21×(−5)
AB⋅AC=2−5=−2,5
Exercice 2
Soit IJKL un rectangle tel que : IJ=10 cm et JK=6 cm . Soit C le milieu du segment [LK] et soit A le milieu du segment [IL]. De plus : BK=43JK
1
Calculer AC⋅BC
Correction
Dans un premier temps, nous allons utiliser la relation de Chasles. En effet : AC=AL+LC et BC=BK+KC Il vient alors que : AC⋅BC=(AL+LC)⋅(BK+KC) . Nous développons maintenant : AB⋅BC=AL⋅BK+AL⋅KC+LC⋅BK+LC⋅KC Comme IJKL est un rectangle alors :
Les droites (AL) et (KC) sont orthogonales donc AL⋅KC=0
Les droites (LC) et (BK) sont orthogonales donc LC⋅BK=0
Il en résulte donc que : AB⋅BC=AL⋅BK+0+0+LC⋅KC AB⋅BC=AL⋅BK+LC⋅KC Comme A est le milieu du segment [IL] alors AL=3 cm et BK=43JK ce qui nous permet de dire que BK=43×6=4,5cm . Enfin, C est le milieu du segment [LK] donc LC=KC=5 cm Les vecteurs AL et BK sont colinéaires de même sens donc : AL⋅BK=AL×BK Les vecteurs LC et KC sont colinéaires de sens opposés donc : LC⋅KC=LC×KC×(−1) Il en résulte donc que : AB⋅BC=AL×BK+LC×KC×(−1) AB⋅BC=3×4,5+5×5×(−1) AB⋅BC=13,5−25
AB⋅BC=−11,5
Exercice 3
1
À chacune des figures ci-dessous, associer, parmi les égalités suivantes, celle qui donne le bon résultat du calcul de AB⋅AC :
AB⋅AC=0
AB⋅AC=−AC2
AB⋅AC=21AB2
AB⋅AC=AB2
AB⋅AC=AB×AC
Correction
La figure 3 est associée à la formule : AB⋅AC=0 . En effet, nous savons que si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point de ce cercle alors ce triangle est rectangle. Il en résulte donc que le triangle BAC est rectangle en A . Les segments [AB] et [AC] sont orthogonaux . Finalement AB⋅AC=0
La figure 4 est associée à la formule : AB⋅AC=−AC2 En effet, soit O le projeté orthogonal de B sur le segment [OC]. Il vient alors que : AB⋅AC=AO⋅AC . Or AO=−AC . D'où : AB⋅AC=−AC⋅AC AB⋅AC=−∥∥∥AC∥∥∥2 AB⋅AC=−AC2
La figure 1 est associée à la formule : AB⋅AC=21AB2 En effet, soit H le projeté orthogonal de C sur le segment [AB] . Il vient alors que : AB⋅AC=AB⋅AH . Or le point H étant le milieu du segment [AB] alors AH=21AB . Ce qui nous donne : AB⋅AC=AB⋅21AB AB⋅AC=21×∥∥∥AB∥∥∥2 AB⋅AC=21AB2
La figure 2 est associée à la formule : AB⋅AC=AB2 En effet, soit C le projeté orthogonal de B sur le segment [AB] . Il vient alors que : AB⋅AC=AB⋅AB AB⋅AC=∥∥∥AB∥∥∥2 AB⋅AC=AB2
La figure 5 est associée à la formule : AB⋅AC=AB×AC En effet, les vecteurs AB et AC sont colinéaires et de même sens.
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