SUJETS DES ÉPREUVES DE SPÉCIALITÉ : EPREUVE COMMUNE DE CONTROLE CONTINU (E3C)

D'après le rappel, nous savons que :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[AB^{2} +AC^{2} -CB^{2} \right]$ . Il ne nous reste plus qu'à substituer par les valeurs des côtés que l'on connait :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[10^{2} +8^{2} -13^{2} \right]$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[100 +64 -169 \right]$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times \left(-5\right)$

Dans un premier temps, nous allons utiliser la relation de Chasles.
En effet : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LC}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KC}$
Il vient alors que :
$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = \left(\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LC}\right) \cdot \left(\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KC}\right)$ . Nous développons maintenant :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{BK} +\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{KC} +\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{BK} +\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{KC}$
Comme $IJKL$ est un rectangle alors :

Les droites $\left(AL\right)$ et $\left(KC\right)$ sont orthogonales donc $\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{KC}=0$

Les droites $\left(LC\right)$ et $\left(BK\right)$ sont orthogonales donc $\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{BK}=0$

Il en résulte donc que :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{BK} +\overrightarrow{0} +\overrightarrow{0} +\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{KC}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{BK} +\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{KC}$
Comme $A$ est le milieu du segment $\left[IL\right]$ alors $AL=3$ cm et $\overrightarrow{BK}= \frac{3}{4}\overrightarrow{JK}$ ce qui nous permet de dire que $BK=\frac{3}{4} \times 6=4,5$cm . Enfin, $C$ est le milieu du segment $\left[LK\right]$ donc $LC=KC=5$ cm
Les vecteurs $\overrightarrow{AL}$ et $\overrightarrow{BK}$ sont colinéaires de même sens donc : $\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{BK}=AL\times BK$
Les vecteurs $\overrightarrow{LC}$ et $\overrightarrow{KC}$ sont colinéaires de sens opposés donc : $\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{KC}=LC\times KC \times \left(-1\right)$
Il en résulte donc que :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =AL\times BK+ LC\times KC \times \left(-1\right)$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =3\times 4,5+ 5\times 5 \times \left(-1\right)$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =13,5-25$

La figure $3$ est associée à la formule : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0$ . En effet, nous savons que si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point de ce cercle alors ce triangle est rectangle. Il en résulte donc que le triangle $BAC$ est rectangle en $A$ . Les segments $\left[AB\right]$ et $\left[AC\right]$ sont orthogonaux . Finalement $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0$

La figure $4$ est associée à la formule : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AC^{2}$
En effet, soit $O$ le projeté orthogonal de $B$ sur le segment $\left[OC\right]$. Il vient alors que :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC}$ . Or $\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{AC}$ . D'où :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^{2}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AC^{2}$

La figure $1$ est associée à la formule : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} AB^{2}$
En effet, soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur le segment $\left[AB\right]$ . Il vient alors que :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ . Or le point $H$ étant le milieu du segment $\left[AB\right]$ alors $\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ . Ce qui nous donne :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}\times \left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}AB^{2}$

La figure $2$ est associée à la formule : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB^{2}$
En effet, soit $C$ le projeté orthogonal de $B$ sur le segment $\left[AB\right]$ . Il vient alors que :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB^{2}$

La figure $5$ est associée à la formule : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC$
En effet, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires et de même sens.