ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Nous appliquons directement la formule de l'équation d'un cercle. Ce qui nous donne :
$$\left(x-2\right)^{2} +\left(y-5\right)^{2} =5^{2}$$
Nous allons développer maintenant l'expression, ce qui donne :
$$x^{2} -4x+4+y^{2} -10y+25=25$$
$$x^{2} -4x+4+y^{2} -10y+25-25=0$$
Ainsi :

$$B\left(5;9\right)\in \mathscr{C}\Leftrightarrow x_{B} {}^{2} +y_{B} {}^{2} -4x_{B} -10y_{B} +4=0$$
Nous allons donc calculer $$x_{B} {}^{2} +y_{B} {}^{2} -4x_{B} -10y_{B} +4$$ .
Il vient alors que :
$$x_{B} {}^{2} +y_{B} {}^{2} -4x_{B} -10y_{B} +4=5^{2} +9^{2} -4\times 5-10\times 9+4$$
$$x_{B} {}^{2} +y_{B} {}^{2} -4x_{B} -10y_{B} +4=25+81-20-90+4$$
Ainsi :
Le point $$B\left(5;9\right)$$ appartient bien au cercle $$\mathscr{C}$$ d'équation $$x^{2} +y^{2} -4x-10y+4=0$$ .

La tangente à un cercle $$\mathscr{C}$$ de centre $$A$$ en un point $$B$$ de $$\mathscr{C}$$ est la droite passant par $$B$$ et perpendiculaire au rayon $$\left[AB\right]$$.

Soit $$M\left(x;y\right)$$ un point appartenant à la tangente au cercle au point $$B$$.
D'après la question $$3$$, on peut affirmer que la droite $$\left(AB\right)$$ et la droite $$\left(BM\right)$$ sont perpendiculaires.
Il en résulte donc que :
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BM} =0$$
Il nous calculer les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{BM}$$, d'où :
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-2} \\ {9-5} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {4} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x-x_{B} } \\ {y-y_{B} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x-5} \\ {y-9} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BM} =0$$
$$3\times \left(x-5\right)+4\times \left(y-9\right)=0$$
$$3x-15+4y-36=0$$
Ainsi :
Une équation de la tangente au cercle au point $$B$$ est alors : $$3x+4y-51=0$$

Les points d’intersection du cercle $$\mathscr{C}$$ avec l’axe des ordonnées ont une abscisse nulle. Autrement dit : $$x=0$$ .
Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2} +y^{2} -4x-10y+4} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {0^{2} +y^{2} -4\times 0-10y+4} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {y^{2} -10y+4} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Il faut donc résoudre l'équation $$y^{2} -10y+4=0$$
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =\left(-10\right)^{2} -4\times 1\times 4$$
$$\Delta =84$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{10-\sqrt{84} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =5-\sqrt{21}$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{10+\sqrt{84} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =5+\sqrt{21}$$
Le cercle $$\mathscr{C}$$ a deux points communs avec l’axe des ordonnées de coordonnées : $$\left(5-\sqrt{21};0\right)$$ et $$\left(5+\sqrt{21};0\right)$$