Fonctions trigonométriques
Comment étudier la périodicité d'une fonction
Exercice 1
1
Soit
f une fontion définie sur
R par
f(x)=2cos(x)+3sin(x). Montrer que
f est
2π−périodique.
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x) f(x+2π)=2cos(x+2π)+3sin(x+2π) équivaut successivement à
f(x+2π)=2cos(x)+3sin(x)Il en résulte que
f(x+2π)=f(x) donc
f est
2π−périodique.
2
Soit
f une fontion définie sur
R par
f(x)=−cos(2x). Montrer que
f est
π−périodique.
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x) f(x+π)=−cos(2(x+π)) équivaut successivement à
f(x+π)=−cos(2x+2π)f(x+π)=−cos(2x)Il en résulte que
f(x+π)=f(x) donc
f est
π−périodique.
3
Soit
f une fontion définie sur
R par
f(x)=sin(3x+π).
f est-elle
32π−périodique ?
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x) f(x+32π)=sin(3(x+32π)+π)f(x)=sin(3×x+3×32π+π) f(x+32π)=sin(3x+2π+π) . D'après le rappel, on peut alors écrire que :
sin(3x+2π+π)=sin(3x+π).
Ce qui nous donne :
f(x+32π)=sin(3x+π)f(x+32π)=f(x)Donc
f est
32π−périodique .
4
Soit
f une fontion définie sur
R par
f(x)=3+cos(x)5sin(x) .
f est-elle
2π−périodique ?
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x) f(x+2π)=3+cos(x+2π)5sin(x+2π)f(x+2π)=3+cos(x)5sin(x) f(x+2π)=f(x) Donc
f est
2π− périodique.
5
Soit
f une fontion définie sur
R par
f(x)=2sin(x)+3sin(2x) .
f est-elle
4π−périodique ?
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x) ou encore cos(x+2kπ)=cos(x) et sin(x+2kπ)=sin(x) où k∈Z f(x+4π)=2sin(x+4π)+3sin(2x+4π) f(x+4π)=2sin(x+2×(2π))+3sin(2x+24π) f(x+4π)=2sin(x+2×(2π))+3sin(2x+2π) .
Il vient alors que :
sin(x+2×(2π))=sin(x) et que
sin(2x+2π)=sin(2x)f(x+4π)=2sin(x)+3sin(2x) f(x+4π)=f(x) Donc
f est
4π− périodique.
6
Soit
f une fontion définie sur
R par
f(x)=sin(3x+5π) .
f est-elle
6π−périodique ?
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x) ou encore cos(x+2kπ)=cos(x) et sin(x+2kπ)=sin(x) où k∈Z f(x+6π)=sin(3x+6π+5π) f(x+6π)=sin(3x+36π+5π) f(x+6π)=sin(3x+2π+5π) f(x+6π)=sin(3x+5π+2π) Or :
sin(3x+5π+2π)=sin(3x+5π) f(x+6π)=sin(3x+5π) f(x+6π)=f(x) Donc
f est
6π− périodique.
Exercice 2
1
Soit
f(x)=cos2(x)−sin2(x) . Montrer que
f est
π−périodique.
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x) f(x)=cos2(x)−sin2(x) f(x)=(cos(x))2−(sin(x))2 f(x+π)=(cos(x+π))2−(sin(x+π))2 cos(x+π)=−cos(x) sin(x+π)=−sin(x) f(x+π)=(−cos(x))2−(−sin(x))2 f(x+π)=(cos(x))2−(sin(x))2f(x+π)=cos2(x)−sin2(x)Il en résulte que
f(x+π)=f(x) donc
f est
π−périodique.
2
Soit
f une fontion définie sur
R par
f(x)=2+3sin(x). Montrer que
f est
2π−périodique.
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x) f(x+2π)=2+3sin(x+2π) f(x+2π)=2+3sin(x) Il en résulte que
f(x+2π)=f(x) donc
f est
2π−périodique.
