Soit f une fontion définie sur R par f(x)=−cos(2x). Montrer que f est π−périodique.
Correction
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)
Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x)
f(x+π)=−cos(2(x+π))équivaut successivement à f(x+π)=−cos(2x+2π) f(x+π)=−cos(2x) Il en résulte que
f(x+π)=f(x)
donc f est π−périodique.
3
Soit f une fontion définie sur R par f(x)=sin(3x+π). f est-elle 32π−périodique ?
Correction
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)
Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x)
f(x+32π)=sin(3(x+32π)+π) f(x)=sin(3×x+3×32π+π) f(x+32π)=sin(3x+2π+π) . D'après le rappel, on peut alors écrire que : sin(3x+2π+π)=sin(3x+π). Ce qui nous donne : f(x+32π)=sin(3x+π)
f(x+32π)=f(x) Donc f est 32π−périodique .
4
Soit f une fontion définie sur R par f(x)=3+cos(x)5sin(x) . f est-elle 2π−périodique ?
Correction
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)
Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x)
Soit f une fontion définie sur R par f(x)=2sin(x)+3sin(2x) . f est-elle 4π−périodique ?
Correction
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)
Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x) ou encore cos(x+2kπ)=cos(x) et sin(x+2kπ)=sin(x) où k∈Z
f(x+4π)=2sin(x+4π)+3sin(2x+4π) f(x+4π)=2sin(x+2×(2π))+3sin(2x+24π) f(x+4π)=2sin(x+2×(2π))+3sin(2x+2π) . Il vient alors que : sin(x+2×(2π))=sin(x) et que sin(2x+2π)=sin(2x) f(x+4π)=2sin(x)+3sin(2x)
f(x+4π)=f(x)
Donc f est 4π− périodique.
6
Soit f une fontion définie sur R par f(x)=sin(3x+5π) . f est-elle 6π−périodique ?
Correction
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)
Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x) ou encore cos(x+2kπ)=cos(x) et sin(x+2kπ)=sin(x) où k∈Z
f(x+6π)=sin(3x+6π+5π) f(x+6π)=sin(3x+36π+5π) f(x+6π)=sin(3x+2π+5π) f(x+6π)=sin(3x+5π+2π) Or : sin(3x+5π+2π)=sin(3x+5π) f(x+6π)=sin(3x+5π)
f(x+6π)=f(x)
Donc f est 6π− périodique.
Exercice 2
1
Soit f(x)=cos2(x)−sin2(x) . Montrer que f est π−périodique.
Correction
f est T−périodique si et seulement si f(x+T)=f(x)
Les fonctions cosinus et sinus sont 2π−périodique, c'est-à-dire cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x)
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