Fonction exponentielle

SUJETS DES ÉPREUVES DE SPÉCIALITÉ : EPREUVE COMMUNE DE CONTROLE CONTINU

Exercice 1

Ce QCM comprend 55 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Il est impératif de justifier vos réponses :)
1

Pour tout nombre réel xx, A(x)=(ex)3×e2×ex+1e3×e5A\left(x\right)=\frac{\left(e^{x} \right)^{3} \times e^{2} \times e^{x+1} }{e^{3} \times e^{5} } s'écrit également :
  • e4x5e^{4x-5}
  • e4x+5e^{4x+5}
  • e4x+5e^{-4x+5}
  • e4x5e^{-4x-5}

Correction
2

Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=3e2x+7f\left(x\right)=3e^{2x+7} . La dérivée de ff est alors :
  • 7e2x+77e^{2x+7}
  • 6e26e^{2}
  • e2x+7e^{2x+7}
  • 6e2x+76e^{2x+7}

Correction
3

Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=(3x+4)exf\left(x\right)=\left(-3x+4\right)e^{x} . La dérivée de ff est alors :
  • f(x)=ex(13x)f'\left(x\right)=e^{x} \left(1-3x\right)
  • f(x)=ex(1+3x)f'\left(x\right)=e^{x} \left(1+3x\right)
  • f(x)=ex(13x)f'\left(x\right)=e^{x} \left(-1-3x\right)
  • f(x)=ex(1+3x)f'\left(x\right)=e^{x} \left(-1+3x\right)

Correction
4

Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=4xexf\left(x\right)=\frac{-4x}{e^{x} } . La fonction ff admet :
  • aucun extremum local
  • un extremum local
  • deux extremum locaux
  • trois extremum locaux

Correction

Exercice 2

Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.
Dans un repère orthonormé d’unité 3030 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe CfC_f représentative de la fonction ff définie sur l’intervalle [1;2]\left[-1;2\right] par f(x)=(x+2)exf\left(x\right)=\left(-x+2\right)e^{x} .
Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe CfC_f. On nomme LL la longueur de la plaque rectangulaire et ll sa largeur.
1

On note ff' la fonction dérivée de ff.
Montrer que pour tout réel xx de l'intervalle [1;2]\left[-1;2\right], on a : f(x)=(x+1)exf'\left(x\right)=\left(-x+1\right)e^{x} .

Correction
2

En déduire le tableau de variations de la fonction ff sur l'intervalle [1;2]\left[-1;2\right] .

Correction
3

La longueur LL de la plaque rectangulaire est de 9090 cm. Trouver sa largeur ll exacte en cm.

Correction

Exercice 3

1

Soit ff la fonction définie sur [0;10]\left[0;10\right] par f(x)=3xe0,4xf\left(x\right)=3xe^{-0,4x} . Justifier le tableau de variation de ff donné ci-dessus.

Correction
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