Fonction exponentielle

QCM

Exercice 1

Pour chaque question, il n'y a qu'une seule bonne réponse.
Vous devrez justifier.
1

Pour tout nombre réel xx, A(x)=1ex1ex+1A\left(x\right)=1-\frac{e^{-x} -1}{e^{-x} +1} s'écrit également :
a.\bf{a.} 2ex+1\frac{2}{e^{-x} +1}                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=2xex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2xe^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }

c.\bf{c.} 2exex+1\frac{2e^{-x} }{e^{-x} +1}                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 00

Correction
2

ff est la fonction définie et dérivable sur ]1;+[\left]-1;+\infty \right[ par : f(x)=2exx+1f\left(x\right)=\frac{-2e^{x} }{x+1} alors sa dérivée notée ff' vaut :
a.\bf{a.} f(x)=2ex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2e^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=2xex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2xe^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }

c.\bf{c.} f(x)=2ex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{2e^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=2xex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{2xe^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }

Correction
3

Le nombre e3(e2)5e^{3} \left(e^{-2} \right)^{5} est égale à :
a.\bf{a.} e6e^{6}                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} e30e^{-30}

c.\bf{c.} e7e^{-7}                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} e30e^{30}

Correction
4

2e2×3e4(2e2)23e4\frac{-2e^{2} \times 3e^{4} }{\left(2e^{2} \right)^{2} -3e^{4} } est égal à :
a.\bf{a.} 1(2e2)\frac{1}{\left(2e^{2} \right)}                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 6e2-6e^{2}

c.\bf{c.} 5e2-5e^{2}                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte

Correction
5

Soit ff la fonction définie pour tout réel xx par f(x)=e3x+e2f\left(x\right)=e^{-3x}+e^{2} alors sa dérivée notée ff' vaut :
a.\bf{a.} f(x)=e3x+e2f'\left(x\right)=e^{-3x}+e^{2}                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=3e3x+2e2f'\left(x\right)=-3e^{-3x}+2e^{2}

c.\bf{c.} f(x)=3e3xf'\left(x\right)=-3e^{-3x}                                                                        \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=3e3x+e2f'\left(x\right)=-3e^{-3x}+e^{2}

Correction
6

Soit la fonction ff définie sur l’intervalle [10;10]\left[-10 ; 10\right] par f(x)=(2x3)e3xf\left(x\right)=\left(2x-3\right)e^{-3x}. L’équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet sur l’intervalle [10;10]\left[-10 ; 10\right]
a.\bf{a.} 00 solution                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 11 solution

c.\bf{c.} 22 solutions                                                                        \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 33 solutions

Correction
7

L’inéquation 3e2x+3>3e9-3e^{-2x+3} >-3e^{9} , d’inconnue xx, a pour ensemble de solutions :
a.\bf{a.} R\mathbb{R}                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} ];3[\left]-\infty;3\right[

c.\bf{c.} ];3[\left]-\infty;-3\right[                                                                        \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} ]3;+[\left]-3;+\infty\right[

Correction
8

Soit ff la fonction dérivable pour tout réel xx par f(x)=xexf\left(x\right)=\frac{x}{e^{x} } alors sa dérivée notée ff' vaut :
a.\bf{a.} f(x)=1+xexf'\left(x\right)=\frac{1+x}{e^{x} }                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=x1exf'\left(x\right)=\frac{x-1}{e^{x} }

c.\bf{c.} f(x)=(1x)exf'\left(x\right)=\left(1-x\right)e^{-x}                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=(1+x)exf'\left(x\right)=\left(1+x\right)e^{x}

Correction
9

Dans le plan muni d’un repère, soit C\mathscr{C} la courbe représentative de la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ex+2xf\left(x\right)=e^{-x}+2x . L’équation de la tangente à la courbe C\mathscr{C} au point d’abscisse 00 est :
a.\bf{a.} y=xy=x                                                                          \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} y=x1y=x-1

c.\bf{c.} y=x+1y=-x+1                                                        \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} y=x+1y=x+1

Correction
10

Pour tout réel xx, (ex+ex)2=\left(e^{x} +e^{-x} \right)^{2}=
a.\bf{a.} 11                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} e2x2+e2xe^{2x} -2+e^{-2x}

c.\bf{c.} e2x+e2xe^{2x} +e^{-2x}                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} e2x+2+e2xe^{2x} +2+e^{-2x}

Correction
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