Exercices types : $1$ ^ère partie

Soit $g\left(x\right)=\left(-x+1\right)e^{2x} +3$.
$g$ est dérivable sur $\left]-\infty ;+\infty \right[$
Ici on reconnaît la forme $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ avec $u\left(x\right)=-x+1$ et $v\left(x\right)=e^{2x}$.
On note $w\left(x\right)=3$
Ainsi : $u'\left(x\right)=-1$ et $v'\left(x\right)=2e^{2x}$, enfin $w'\left(x\right)=0$
Il vient alors que :
$g'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x+1\right)\left(2e^{2x} \right)$
$g'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x\right)\times 2e^{2x} +1\times 2e^{2x}$
$g'\left(x\right)=-e^{2x} -2xe^{2x} +2e^{2x}$
$g'\left(x\right)=-2x{\color{blue}{e^{2x}}} +{\color{blue}{e^{2x}}}$
Ainsi :
Pour tout réel $x$, on a $e^{2x} >0$.
$-2x+1\ge 0\Leftrightarrow -2x\ge -1\Leftrightarrow x{\color{red}\le} \frac{-1}{-2} \Leftrightarrow x\le \frac{1}{2}$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $+$ dans la ligne de $-2x+1$ lorsque $x$ sera inférieur ou égale à $\frac{1}{2}$.
Il en résulte donc que :

• si $x\in\left]-\infty;\frac{1}{2}\right]$ alors $g'\left(x\right)\ge0$ et donc $g$ est croissante sur cet intervalle.
• si $x\in\left[\frac{1}{2};+\infty\right[$ alors $g'\left(x\right)\le0$ et donc $g$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus : $g\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} e+3$

Soit $f\left(x\right)=\left(-x+\frac{3}{2} \right)e^{2x} +6x-1$ .
$f$ est dérivable sur $\left]-\infty ;+\infty \right[$ .
Ici on reconnaît la forme $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ avec $u\left(x\right)=-x+\frac{3}{2}$ et $v\left(x\right)=e^{2x}$.
On note $w\left(x\right)=6x-1$ . Ainsi $u'\left(x\right)=-1$ et $v'\left(x\right)=2e^{2x}$, enfin $w'\left(x\right)=6$
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=-e^{2x} +\left(-x+\frac{3}{2} \right)\left(2e^{2x} \right)+6\Leftrightarrow f'\left(x\right)=e^{2x} \left(-1+2\left(-x+\frac{3}{2} \right)\right)+6$
Ainsi : $f'\left(x\right)=e^{2x} \left(-2x+2\right)+6$.
On va maintenant factoriser $f'$par $2$.
On obtient :
$f'\left(x\right)={\color{blue}{2}}e^{2x} \left(-x+1\right)+3\times {\color{blue}{2}}\Leftrightarrow f'\left(x\right)={\color{blue}{2}}\left[e^{2x} \left(-x+1\right)+3\right]$
Il en résulte que :

Soit $g\left(x\right)=e^{x} +x+1$
$g$ est dérivable sur $\left]-\infty ;+\infty \right[$
On a : $g'\left(x\right)=e^{x} +1.$
Pour tout réel $x$, on a $e^{x} +1>0$.
Il vient alors que :

Soit : $f\left(x\right)=\frac{xe^{x} }{e^{x} +1}$
$f$ est dérivable sur $\left]-\infty ;+\infty \right[$
Ici on reconnait la forme $\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$ avec $u\left(x\right)=xe^{x}$ et $v\left(x\right)=e^{x} +1$.
Attention : pour $u\left(x\right)=xe^{x}$, lorsque nous allons faire sa dérivée il faudra utiliser la forme $\left(uv\right)^{'}$.
Ainsi $u'\left(x\right)=e^{x} +xe^{x}$ et $v'\left(x\right)=e^{x}$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=\frac{\left(e^{x} +xe^{x} \right)\left(e^{x} +1\right)-xe^{x} \times e^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$ équivaut successivement à
$f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +e^{x} +xe^{2x} +xe^{x} -xe^{2x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +e^{x} +xe^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(e^{x} +1+x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$

Soit $f\left(x\right)=\left(4x+1\right)e^{-2x}$
$f$ est dérivable sur $\left]-\infty ;+\infty \right[$
Ici on reconnait la forme $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ avec $u\left(x\right)=4x+1$ et $v\left(x\right)=e^{-2x}$.
Ainsi $u'\left(x\right)=4$ et $v'\left(x\right)=-2e^{-2x}$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=4e^{-2x} +\left(4x+1\right)\left(-2e^{-2x} \right)$
$f'\left(x\right)=4e^{-2x} +4x\times\left(-2e^{-2x} \right) +1\times\left(-2e^{-2x} \right)$
$f'\left(x\right)=4e^{-2x} -8xe^{-2x} -2e^{-2x}$
$f'\left(x\right)=2e^{-2x} -8xe^{-2x}$ . Nous allons maintenant factoriser par $e^{-2x}$ .

D'après la question précédente, nous savons que : $f'\left(x\right)=e^{-2x} \left(-8x+2\right)$
Pour tout réel $x$, on a $e^{-2x} >0$.
$-8x+2\ge 0\Leftrightarrow -8x\ge -2\Leftrightarrow x{\color{red}\le}\frac{-2}{-8} \Leftrightarrow x\le \frac{1}{4}$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $+$ dans la ligne de $-8x+2$ lorsque $x$ sera inférieur ou égale à $\frac{1}{4}$.
Il en résulte donc que :

• si $x\in\left]-\infty;\frac{1}{4}\right]$ alors $f'\left(x\right)\ge0$ et donc $f$ est croissante sur cet intervalle.
• si $x\in\left[\frac{1}{4};+\infty\right[$ alors $f'\left(x\right)\le0$ et donc $f$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

Soit : $f\left(x\right)=\left(x^{2} +x+1\right)e^{-x} -1$ .
$f$ est dérivable sur $\left]-\infty ;+\infty \right[$
Ici on reconnaît la forme $\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$ avec $u\left(x\right)=x^{2} +x+1$ et $v\left(x\right)=e^{-x}$.
On note $w\left(x\right)=-1$.
Ainsi $u'\left(x\right)=2x+1$ et $v'\left(x\right)=-e^{-x}$, enfin $w'\left(x\right)=0$
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=\left(2x+1\right)e^{-x} +\left(x^{2} +x+1\right)\times \left(-e^{-x} \right)$
$f'\left(x\right)=2x\times e^{-x} +1\times e^{-x} +x^{2} \times \left(-e^{-x} \right)+x\times \left(-e^{-x} \right)+1\times \left(-e^{-x} \right)$
$f'\left(x\right)=2xe^{-x} +e^{-x} -x^{2} e^{-x} -xe^{-x} -e^{-x}$
$f'\left(x\right)=xe^{-x} -x^{2} e^{-x}$ . Nous allons maintenant factoriser par $e^{-x}$ .

Nous savons d'après la question précédente que : $f'\left(x\right)=e^{-x} \left(-x^{2} +x\right)$
Pour tout réel $x$, on a $e^{-x} >0$.
Pour l'étude de $-x^{2} +x$, on va utiliser le discriminant.
Or $\Delta =b^{2} -4ac$ donc $\Delta =1$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ce qui donne $x_{1} =1$.
• $x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ce qui donne $x_{2} =0$.

Comme $a=-1<0$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $f$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :
De plus :
$f\left(0\right)=\left(0^{2} +0+1\right)e^{-0} -1\Leftrightarrow f\left(0\right)=0$
$f\left(1\right)=\left(1^{2} +1+1\right)e^{-1} -1\Leftrightarrow f\left(1\right)=3e^{-1} -1$