g est dérivable sur ]−∞;+∞[ Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=−x+1 et v(x)=e2x. On note w(x)=3 Ainsi : u′(x)=−1 et v′(x)=2e2x, enfin w′(x)=0 Il vient alors que : g′(x)=−e2x+(−x+1)(2e2x) g′(x)=−e2x+(−x)×2e2x+1×2e2x g′(x)=−e2x−2xe2x+2e2x g′(x)=−2xe2x+e2x Ainsi :
g′(x)=e2x(−2x+1)
Pour tout réel x, on a e2x>0. −2x+1≥0⇔−2x≥−1⇔x≤−2−1⇔x≤21 Cela signifie que l'on va mettre le signe + dans la ligne de −2x+1 lorsque x sera inférieur ou égale à 21. Il en résulte donc que :
si x∈]−∞;21] alors g′(x)≥0 et donc g est croissante sur cet intervalle.
si x∈[21;+∞[ alors g′(x)≤0 et donc g est décroissante sur cet intervalle.
Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus : g(21)=21e+3
Soit f la fonction définie sur ]−∞;+∞[ par f(x)=(−x+23)e2x+6x−1 .
2
Démontrer que, pour tout réel x, f′(x)=2g(x).
Correction
Soit f(x)=(−x+23)e2x+6x−1 . f est dérivable sur ]−∞;+∞[ . Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=−x+23 et v(x)=e2x. On note w(x)=6x−1 . Ainsi u′(x)=−1 et v′(x)=2e2x, enfin w′(x)=6 Il vient alors que : f′(x)=−e2x+(−x+23)(2e2x)+6⇔f′(x)=e2x(−1+2(−x+23))+6 Ainsi : f′(x)=e2x(−2x+2)+6. On va maintenant factoriser f′par 2. On obtient : f′(x)=2e2x(−x+1)+3×2⇔f′(x)=2[e2x(−x+1)+3] Il en résulte que :
f′(x)=2g(x)
Exercice 2
Soit g la fonction définie sur ]−∞;+∞[ par g(x)=ex+x+1 .
1
Etudiez les variations de g.
Correction
Soit g(x)=ex+x+1 g est dérivable sur ]−∞;+∞[ On a : g′(x)=ex+1. Pour tout réel x, on a ex+1>0. Il vient alors que :
Soit f la fonction définie sur ]−∞;+∞[par f(x)=ex+1xex .
2
Démontrer que, pour tout réel x, f′(x)=(ex+1)2exg(x).
Correction
Soit : f(x)=ex+1xex f est dérivable sur ]−∞;+∞[ Ici on reconnait la forme (vu)′=v2u′v−uv′ avec u(x)=xex et v(x)=ex+1. Attention : pour u(x)=xex, lorsque nous allons faire sa dérivée il faudra utiliser la forme (uv)′. Ainsi u′(x)=ex+xex et v′(x)=ex. Il vient alors que : f′(x)=(ex+1)2(ex+xex)(ex+1)−xex×exéquivaut successivement à f′(x)=(ex+1)2e2x+ex+xe2x+xex−xe2x f′(x)=(ex+1)2e2x+ex+xex f′(x)=(ex+1)2ex(ex+1+x)
f′(x)=(ex+1)2exg(x)
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur ]−∞;+∞[ par f(x)=(4x+1)e−2x. On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
1
Montrer que, pour tout réel x, on a : f′(x)=e−2x(2−8x)
Correction
Soit f(x)=(4x+1)e−2x f est dérivable sur ]−∞;+∞[ Ici on reconnait la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=4x+1 et v(x)=e−2x. Ainsi u′(x)=4 et v′(x)=−2e−2x. Il vient alors que : f′(x)=4e−2x+(4x+1)(−2e−2x) f′(x)=4e−2x+4x×(−2e−2x)+1×(−2e−2x) f′(x)=4e−2x−8xe−2x−2e−2x f′(x)=2e−2x−8xe−2x . Nous allons maintenant factoriser par e−2x .
f′(x)=e−2x(2−8x)
2
En déduire les variations de f puis dresser son tableau de variation.
Correction
D'après la question précédente, nous savons que : f′(x)=e−2x(−8x+2) Pour tout réel x, on a e−2x>0. −8x+2≥0⇔−8x≥−2⇔x≤−8−2⇔x≤41 Cela signifie que l'on va mettre le signe + dans la ligne de −8x+2 lorsque x sera inférieur ou égale à 41. Il en résulte donc que :
si x∈]−∞;41] alors f′(x)≥0 et donc f est croissante sur cet intervalle.
si x∈[41;+∞[ alors f′(x)≤0 et donc f est décroissante sur cet intervalle.
Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
Exercice 4
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(x2+x+1)e−x−1
1
Montrer que, pour tout réel x, on a : f′(x)=e−x(x−x2)
Correction
Soit : f(x)=(x2+x+1)e−x−1 . f est dérivable sur ]−∞;+∞[ Ici on reconnaît la forme (uv+w)′=u′v+uv′+w′ avec u(x)=x2+x+1 et v(x)=e−x. On note w(x)=−1. Ainsi u′(x)=2x+1 et v′(x)=−e−x, enfin w′(x)=0 Il vient alors que : f′(x)=(2x+1)e−x+(x2+x+1)×(−e−x) f′(x)=2x×e−x+1×e−x+x2×(−e−x)+x×(−e−x)+1×(−e−x) f′(x)=2xe−x+e−x−x2e−x−xe−x−e−x f′(x)=xe−x−x2e−x . Nous allons maintenant factoriser par e−x .
f′(x)=e−x(x−x2)
2
En déduire le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.
Correction
Nous savons d'après la question précédente que : f′(x)=e−x(−x2+x) Pour tout réel x, on a e−x>0. Pour l'étude de −x2+x, on va utiliser le discriminant. Or Δ=b2−4ac donc Δ=1. Il existe donc deux racines réelles distinctes.
x1=2a−b−Δ ce qui donne x1=1.
x2=2a−b+Δ ce qui donne x2=0.
Comme a=−1<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. On en déduit le tableau de variation suivant :
De plus : f(0)=(02+0+1)e−0−1⇔f(0)=0 f(1)=(12+1+1)e−1−1⇔f(1)=3e−1−1
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