QCM1

La bonne réponse est c.
1^ère étape : On calcule $f\left(1\right)$
$f\left(1\right)=2\times 1^{2}$ d'où $f\left(1\right)=2$
2^ème étape : On calcule $f\left(1+h\right)$
$f\left(1+h\right)=2\times \left(1+h\right)^{2}$
$f\left(1+h\right)=2\times \left(1+2h+h^{2} \right)$
$f\left(1+h\right)=2+4h+2h^{2}$
3^ème étape : On calcule $f\left(1+h\right)-f\left(1\right)$
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=2+4h+2h^{2}-2$
$f\left(1+h\right)-f\left(1\right)=2h^{2} +4h$
4^ème étape : On calcule $\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$
$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{2h^{2} +4h}{h}$
On va factoriser le numérateur par $h$.
$\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} =\frac{h\left(2h+4\right)}{h}$
On simplifie par $h$.
. Ici il s'agit donc du taux d'accroissement demandé.
Il ne faut pas faire la $5$^ème étape et recherché la limite quand $h$ tend vers $0$.

La bonne réponse est b.
On calcule $\lim\limits_{h\to 0} \frac{h^{2}+h}{h}$
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{h^{2}+h}{h} =\lim\limits_{h\to 0} \frac{h\left(h+1\right)}{h}$. On a factorisé par $h$.
$\lim\limits_{h\to 0} \frac{h^{2}+h}{h} =\lim\limits_{h\to 0} h+1$.
Cela signifie que l'on remplace tous les $h$ par zéro.
Ainsi : .

La bonne réponse est b.
Nous allons donner la dérivée de la fonction $f$ dans un premier temps.
D'après le cours on sait que si $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ alors $f'\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2}}$.
Ainsi : $f'\left(-1\right)=-\frac{1}{\left(-1\right)^{2}}$ d'où :

La bonne réponse est a.
Soit $f\left(x\right)=x^{2}$. Il s'agit ici de déterminer le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $-1$. Il est obtenu grâce à $f'\left(-1\right)$.
Comme $f\left(x\right)=x^{2}$ alors $f'\left(x\right)=2x$. Ainsi :

La bonne réponse est b.
Une fonction affine s'écrit de manière générale sous la forme : $f\left(x\right)=mx+p$ où $m$ est un réel non nul et $p$ un réel.
Ainsi :
. Il s'agit donc d'une constante.

La bonne réponse est c.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
On reconnaît la forme $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ avec $u\left(x\right)=x$ et $v\left(x\right)=2-x$
Ainsi : $u'\left(x\right)=1$ et $v'\left(x\right)=-1$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=1\times \left(2-x\right)+x\times \left(-1\right)$
$f'\left(x\right)=2-x-x$

La bonne réponse est c.
$f$ est dérivable sur $\left]0;+\infty\right[$.
On vérifie aisément que :
$f'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x} } -\left(\frac{-1}{x^{2} }\right)$

La bonne réponse est b.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}-\left\{0\right\}$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$ avec $u\left(x\right)=3x+1$ et $v\left(x\right)=x^{2}$
Ainsi : $u'\left(x\right)=3$ et $v'\left(x\right)=2x$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=\frac{3\times x^{2}-\left(3x+1\right)\times \left(2x\right)}{x^{4} }$
$f'\left(x\right)=\frac{3x^{2}-\left(6x^{2}+2x\right)}{x^{4} }$
$f'\left(x\right)=\frac{3x^{2}-6x^{2}-2x}{x^{4} }$
$f'\left(x\right)=\frac{-3x^{2}-2x}{x^{4} }$. Nous factorisons par $x$ le numérateur :
$f'\left(x\right)=\frac{x\left(-3x-2\right)}{x^{4} }$.
Ainsi :

La bonne réponse est a.Ici $a=-2$, ce qui donne, $y=f'\left(-2\right)\left(x-\left(-2\right)\right)+f\left(-2\right)$ c'est à dire : $y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)$
1^ère étape : calculer la dérivée de $f$
$f'\left(x\right)=2x-1$

2^ème étape : calculer $f\left(-2\right)$
$f\left(-2\right)=\left(-2\right)^{2}+2+1$
$f\left(-2\right)=7$
3^ème étape : calculer $f'\left(-2\right)$
$f'\left(-2\right)=2\times \left(-2\right)-1$
$f'\left(-2\right)=-5$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $f\left(-2\right)$ et de $f'\left(-2\right)$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)$
$y=\left(-5\right)\times \left(x+2\right)+7$
$y=-5x-10+7$

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $-2$ est alors $y=-5x-3$.

La bonne réponse est c.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
On reconnaît la forme $\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$ avec $u\left(x\right)=1-4x$ et $v\left(x\right)=x^{2} -3x$
Ainsi : $u'\left(x\right)=-4$ et $v'\left(x\right)=2x-3$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=-4\times \left(x^{2} -3x\right)+\left(1-4x\right)\times \left(2x-3\right)$
$f'\left(x\right)=-4\times x^{2} -4\times \left(-3x\right)+1\times 2x+1\times \left(-3\right)-4x\times 2x-4x\times \left(-3\right)$
$f'\left(x\right)=-4x^{2} +12x+2x-3-8x^{2} +12x$
Ainsi :